Giải SGK Toán lớp 6 Cánh diều Chương 1 Bài 11: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố (trang 44-46)

Để viết số 120 thành tích của các thừa số nguyên tố, ta có thể dùng phương pháp “sơ đồ cây” (rẽ nhánh) hoặc “theo cột dọc”.

Cách 1: Phương pháp rẽ nhánh

            120
           /   \
          10   12
         / \   / \
        2  5  2  6
                 / \
                2  3

Vậy, 120 = 2 . 5 . 2 . 2 . 3 = 2³ . 3 . 5

Cách 2: Phương pháp cột dọc

            120 | 2
             60 | 2
             30 | 2
             15 | 3
              5 | 5
              1 |

Vậy, 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 2³ . 3 . 5

Giải:

a) Các số nguyên tố nhỏ hơn 30 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

b) Để tìm một ước nguyên tố của 91, ta lần lượt chia 91 cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần:

• 91 không chia hết cho 2 (vì 91 là số lẻ).
• 91 không chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số 9+1=10 không chia hết cho 3).
• 91 không chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng không phải 0 hoặc 5).
• 91 chia hết cho 7 (91 : 7 = 13).

Vậy, 7 là một ước nguyên tố của 91.

Giải:

Theo dấu hiệu chia hết, số 217 không chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5. Ta có:

217 : 7 = 31.

Vì thế 7 là một ước nguyên tố của 217.

Giải:

Để tìm một ước nguyên tố của 187, ta lần lượt chia 187 cho các số nguyên tố tăng dần:

• 187 không chia hết cho 2 (số lẻ).
• 187 không chia hết cho 3 (1+8+7=16 không chia hết cho 3).
• 187 không chia hết cho 5 (tận cùng không phải 0 hoặc 5).
• 187 không chia hết cho 7 (187 : 7 = 26 dư 5).
• 187 không chia hết cho 11 (187 : 11 = 17).

Vậy, 11 là một ước nguyên tố của 187.

Biểu diễn quá trình rẽ nhánh:

            12
           /  \
          2    6
              /  \
             2    3

Giải:

Cách viết “rẽ nhánh”:

                72
               /  \
              2   36
                 /  \
                2   18
                   /  \
                  2    9
                      /  \
                     3    3

Cách viết “theo cột dọc”:

            72 | 2
            36 | 2
            18 | 2
             9 | 3
             3 | 3
             1 |

Vậy ta phân tích được: 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3².

Giải:

Cách viết “rẽ nhánh”:

                40
               /  \
              2   20
                 /  \
                2   10
                   /  \
                  2    5

Cách viết “theo cột dọc”:

            40 | 2
            20 | 2
            10 | 2
             5 | 5
             1 |

Vậy ta phân tích được: 40 = 2 . 2 . 2 . 5 = 2³ . 5.

Giải:

Cách 1:

            120
           /   \
          10   12
         / \   / \
        2  5  2  6
                 / \
                2  3

Vậy 120 = 2 . 5 . 2 . 2 . 3 = 2³ . 3 . 5.

Cách 2:

            120
           /   \
          6    20
         / \   /  \
        2  3  4   5
              / \
             2  2

Vậy 120 = 2 . 3 . 2 . 2 . 5 = 2³ . 3 . 5.

Nhận xét: Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được cùng một kết quả.

Giải Bài 1:

• Phân tích 45:

                      45 | 3
                      15 | 3
                       5 | 5
                       1 |
  

  45 = 3 . 3 . 5 = 3² . 5

• Phân tích 78:

                      78 | 2
                      39 | 3
                      13 | 13
                       1 |
  

  78 = 2 . 3 . 13

• Phân tích 270:

                      270 | 2
                      135 | 3
                       45 | 3
                       15 | 3
                        5 | 5
                        1 |
  

  270 = 2 . 3 . 3 . 3 . 5 = 2 . 3³ . 5

• Phân tích 299:

                      299 | 13
                       23 | 23
                        1 |
  

  Để phân tích 299, ta thử các số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11 (299/11 = 27 dư 2), 13 (299/13 = 23).
  Vậy 299 = 13 . 23

Giải Bài 2:

a) 800 = 2 . 400 = 2 . (2⁴ . 5²) = 2¹⁺⁴ . 5² = 2⁵ . 5².

b) 3 200 = 10 . 320 = (2 . 5) . (2⁵ . 5) = 2¹⁺⁵ . 5¹⁺¹ = 2⁶ . 5².

Giải Bài 3:

a) Từ 2 700 = 2² . 3³ . 5²

• 270 = 2 700 : 10 = (2² . 3³ . 5²) : (2 . 5) = 2^2-1 . 3³ . 5^2-1 = 2 . 3³ . 5.
• 900 = 2 700 : 3 = (2² . 3³ . 5²) : 3 = 2² . 3^3-1 . 5² = 2² . 3² . 5².

b) Từ 3 600 = 2⁴ . 3² . 5²

• 180 = 3 600 : 20 = 3 600 : (2² . 5) = (2⁴ . 3² . 5²) : (2² . 5) = 2^4-2 . 3² . 5^2-1 = 2² . 3² . 5.
• 600 = 3 600 : 6 = 3 600 : (2 . 3) = (2⁴ . 3² . 5²) : (2 . 3) = 2^4-1 . 3^2-1 . 5² = 2³ . 3 . 5².

Giải Bài 4:

Để một số có đúng ba ước nguyên tố, số đó phải là tích của ba số nguyên tố khác nhau (mỗi số mũ 1), hoặc tích của một số nguyên tố mũ lớn hơn 1 và hai số nguyên tố khác mũ 1, v.v.

Cách đơn giản nhất là chọn ba số nguyên tố nhỏ nhất và nhân chúng với nhau:

• Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5.
• Số thứ nhất: 2 . 3 . 5 = 30. (Các ước nguyên tố là 2, 3, 5).
• Số nguyên tố tiếp theo là 7.
• Số thứ hai: 2 . 3 . 7 = 42. (Các ước nguyên tố là 2, 3, 7).

Vậy hai số tự nhiên có đúng ba ước nguyên tố có thể là 30 và 42.

(Các ví dụ khác: 2 . 5 . 7 = 70; 3 . 5 . 7 = 105; v.v.)

Giải Bài 5:

Phân tích số 84 ra thừa số nguyên tố:

            84 | 2
            42 | 2
            21 | 3
             7 | 7
             1 |

Vậy 84 = 2 . 2 . 3 . 7 = 2² . 3 . 7.

Tìm tập hợp các ước của 84:

Các ước của 84 sẽ có dạng 2^a . 3^b . 7^c, trong đó 0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 1.

Ta liệt kê các ước:

• Với 2⁰ = 1:
  • 1 . 3⁰ . 7⁰ = 1
  • 1 . 3¹ . 7⁰ = 3
  • 1 . 3⁰ . 7¹ = 7
  • 1 . 3¹ . 7¹ = 21
• Với 2¹ = 2:
  • 2 . 3⁰ . 7⁰ = 2
  • 2 . 3¹ . 7⁰ = 6
  • 2 . 3⁰ . 7¹ = 14
  • 2 . 3¹ . 7¹ = 42
• Với 2² = 4:
  • 4 . 3⁰ . 7⁰ = 4
  • 4 . 3¹ . 7⁰ = 12
  • 4 . 3⁰ . 7¹ = 28
  • 4 . 3¹ . 7¹ = 84

Vậy tập hợp các ước của 84 là: Ư(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}.