Giải Bài 109 tới bài 118 tiết 12 chương I (trang 33-34) SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

Lời giải:

a) Các ước của 15 là: 1, 3, 5, 15.

Các ước của 105 là: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

Ước chung của 15 và 105 là các số có mặt trong cả hai tập hợp ước, tức là {1, 3, 5, 15}.

Trong các số đã cho (1, 5, 13, 15, 35, 53), các số là ước chung của 15 và 105 là 1, 5, 15.

b) Để tìm ƯCLN(27, 156), ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

27 = 3³

156 = 2² . 3 . 13

Thừa số nguyên tố chung là 3 với số mũ nhỏ nhất là 1.

Vậy, ƯCLN(27, 156) = 3.

c) Để tìm ƯCLN(106, 318), ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

106 = 2 . 53

318 = 2 . 3 . 53

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 53. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, của 53 là 1.

Vậy, ƯCLN(106, 318) = 2 . 53 = 106.

Các ước chung của 424 và 636: để tìm các ước chung của 424 và 636, ta cần tìm ƯCLN(424, 636).

424 = 2³ . 53

636 = 2² . 3 . 53

ƯCLN(424, 636) = 2² . 53 = 4 . 53 = 212.

Các ước chung của 424 và 636 chính là các ước của ƯCLN(424, 636) = 212.

Các ước của 212 là: 1, 2, 4, 53, 106, 212.

Lời giải:

a) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

18 = 2 . 3²

27 = 3³

30 = 2 . 3 . 5

Thừa số nguyên tố chung là 3 với số mũ nhỏ nhất là 1.

ƯCLN(18, 27, 30) = 3.

Các ước chung của 18, 27, 30 chính là các ước của ƯCLN(18, 27, 30) = 3.

Các ước của 3 là: 1, 3.

Vậy, các ước chung của 18, 27, 30 là 1 và 3.

b) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

51 = 3 . 17

102 = 2 . 3 . 17

144 = 2⁴ . 3²

Thừa số nguyên tố chung là 3 với số mũ nhỏ nhất là 1.

ƯCLN(51, 102, 144) = 3.

Các ước chung của 51, 102, 144 chính là các ước của ƯCLN(51, 102, 144) = 3.

Các ước của 3 là: 1, 3.

Vậy, các ước chung của 51, 102, 144 là 1 và 3.

Lời giải:

Gọi số tổ là x.

Vì số học sinh nam và học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau, nên x phải là ước chung của số học sinh nam và số học sinh nữ.

Số học sinh nam là 27, số học sinh nữ là 18.

Ta tìm ƯCLN(27, 18).

27 = 3³

18 = 2 . 3²

ƯCLN(27, 18) = 3² = 9.

Các ước chung của 27 và 18 là các ước của 9.

Các ước của 9 là: 1, 3, 9.

Vậy, có 3 cách chia lớp thành các tổ: 1 tổ, 3 tổ hoặc 9 tổ.

Để mỗi tổ có số học sinh ít nhất, số tổ phải là lớn nhất.

Vậy, chia thành 9 tổ.

Khi đó, mỗi tổ có:

• Số học sinh nam: 27 : 9 = 3 (học sinh)
• Số học sinh nữ: 18 : 9 = 2 (học sinh)
• Tổng số học sinh mỗi tổ: 3 + 2 = 5 (học sinh).

Cách chia để mỗi tổ có số học sinh ít nhất là chia thành 9 tổ.

Lời giải:

Gọi số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp là x.

Vì số hàng dọc của mỗi khối là như nhau và không có ai lẻ hàng, nên x là ước chung lớn nhất của 300, 276 và 252.

Ta tìm ƯCLN(300, 276, 252).

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

300 = 2² . 3 . 5²

276 = 2² . 3 . 23

252 = 2² . 3² . 7

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 (từ 2²), số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 (từ 3).

ƯCLN(300, 276, 252) = 2² . 3 = 4 . 3 = 12.

Vậy, có thể xếp nhiều nhất thành 12 hàng dọc.

Khi đó, số học sinh ở mỗi hàng dọc của mỗi khối là:

• Khối 6: 300 : 12 = 25 (học sinh)
• Khối 7: 276 : 12 = 23 (học sinh)
• Khối 8: 252 : 12 = 21 (học sinh)

Lời giải:

a) 388 chia cho a thì dư 38, nghĩa là (388 – 38) chia hết cho a, hay 350 chia hết cho a.

508 chia cho a thì dư 18, nghĩa là (508 – 18) chia hết cho a, hay 490 chia hết cho a.

Vì 388 chia a dư 38 nên a > 38.

Vì 508 chia a dư 18 nên a > 18.

Kết hợp hai điều kiện, ta có a > 38.

a là ước chung của 350 và 490.

Ta tìm ƯCLN(350, 490).

350 = 2 . 5² . 7

490 = 2 . 5 . 7²

ƯCLN(350, 490) = 2 . 5 . 7 = 70.

Các ước của 70 là: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

Vì a > 38, nên a = 70.

b) 1012 và 1178 khi chia cho a đều cho số dư bằng 16.

Nghĩa là (1012 – 16) chia hết cho a, hay 996 chia hết cho a.

Và (1178 – 16) chia hết cho a, hay 1162 chia hết cho a.

Vì số dư là 16 nên a > 16.

a là ước chung của 996 và 1162.

Ta tìm ƯCLN(996, 1162).

996 = 2² . 3 . 83

1162 = 2 . 7² . 83

ƯCLN(996, 1162) = 2 . 83 = 166.

Các ước của 166 là: 1, 2, 83, 166.

Vì a > 16, nên a có thể là 83 hoặc 166.

Lời giải:

a) Để n + 2 và n + 3 nguyên tố cùng nhau, ƯCLN(n + 2, n + 3) = 1.

Gọi d = ƯCLN(n + 2, n + 3).

Suy ra (n + 2) chia hết cho d và (n + 3) chia hết cho d.

Từ đó, (n + 3) – (n + 2) chia hết cho d, tức là 1 chia hết cho d.

Vậy d = 1.

Do đó, n + 2 và n + 3 luôn nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

b) Để 2n + 1 và 9n + 4 nguyên tố cùng nhau, ƯCLN(2n + 1, 9n + 4) = 1.

Gọi d = ƯCLN(2n + 1, 9n + 4).

Suy ra (2n + 1) chia hết cho d và (9n + 4) chia hết cho d.

Do đó 9(2n + 1) chia hết cho d và 2(9n + 4) chia hết cho d.

Hay (18n + 9) chia hết cho d và (18n + 8) chia hết cho d.

Từ đó, (18n + 9) – (18n + 8) chia hết cho d, tức là 1 chia hết cho d.

Vậy d = 1.

Do đó, 2n + 1 và 9n + 4 luôn nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Lời giải:

a) Vì ƯCLN(a, b) = 24, đặt a = 24m và b = 24n (với m, n là số tự nhiên, ƯCLN(m, n) = 1).

Ta có a + b = 192.

24m + 24n = 192

24(m + n) = 192

m + n = 192 : 24 = 8.

Vì ƯCLN(m, n) = 1 và m + n = 8, các cặp (m, n) có thể là:

• (1, 7) => a = 24 . 1 = 24; b = 24 . 7 = 168.
• (3, 5) => a = 24 . 3 = 72; b = 24 . 5 = 120.
• (5, 3) => a = 24 . 5 = 120; b = 24 . 3 = 72.
• (7, 1) => a = 24 . 7 = 168; b = 24 . 1 = 24.

Vậy, các cặp số (a, b) là (24, 168), (72, 120), (120, 72), (168, 24).

b) Vì ƯCLN(a, b) = 6, đặt a = 6m và b = 6n (với m, n là số tự nhiên, ƯCLN(m, n) = 1).

Ta có ab = 216.

(6m) . (6n) = 216

36mn = 216

mn = 216 : 36 = 6.

Vì ƯCLN(m, n) = 1 và mn = 6, các cặp (m, n) có thể là:

• (1, 6) => a = 6 . 1 = 6; b = 6 . 6 = 36.
• (2, 3) => a = 6 . 2 = 12; b = 6 . 3 = 18.
• (3, 2) => a = 6 . 3 = 18; b = 6 . 2 = 12.
• (6, 1) => a = 6 . 6 = 36; b = 6 . 1 = 6.

Vậy, các cặp số (a, b) là (6, 36), (12, 18), (18, 12), (36, 6).

Lời giải:

Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).

Suy ra (5a + 2b) chia hết cho d và (7a + 3b) chia hết cho d.

=> 3(5a + 2b) chia hết cho d và 2(7a + 3b) chia hết cho d.

=> (15a + 6b) chia hết cho d và (14a + 6b) chia hết cho d.

=> (15a + 6b) – (14a + 6b) chia hết cho d.

=> a chia hết cho d.

Tương tự, ta có:

7(5a + 2b) chia hết cho d và 5(7a + 3b) chia hết cho d.

=> (35a + 14b) chia hết cho d và (35a + 15b) chia hết cho d.

=> (35a + 15b) – (35a + 14b) chia hết cho d.

=> b chia hết cho d.

Vì a chia hết cho d và b chia hết cho d, nên d là ước chung của a và b.

Mà a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ƯCLN(a, b) = 1.

Do đó d = 1.

Vậy, 5a + 2b và 7a + 3b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

a)

• 12/24: ƯCLN(12, 24) = 12. Rút gọn: 12 : 12 / 24 : 12 = 1/2.
• 13/39: ƯCLN(13, 39) = 13. Rút gọn: 13 : 13 / 39 : 13 = 1/3.
• 35/105: ƯCLN(35, 105) = 35. Rút gọn: 35 : 35 / 105 : 35 = 1/3.

b)

• 120/245: Phân tích 120 = 2³ . 3 . 5, 245 = 5 . 7². ƯCLN(120, 245) = 5. Rút gọn: 120 : 5 / 245 : 5 = 24/49.
• 134/402: Phân tích 134 = 2 . 67, 402 = 2 . 3 . 67. ƯCLN(134, 402) = 2 . 67 = 134. Rút gọn: 134 : 134 / 402 : 134 = 1/3.
• 213/852: Phân tích 213 = 3 . 71, 852 = 2² . 3 . 71. ƯCLN(213, 852) = 3 . 71 = 213. Rút gọn: 213 : 213 / 852 : 213 = 1/4.

c)

• 252/1176: Phân tích 252 = 2² . 3² . 7, 1176 = 2³ . 3 . 7². ƯCLN(252, 1176) = 2² . 3 . 7 = 84. Rút gọn: 252 : 84 / 1176 : 84 = 3/14.
• 1221/3663: Phân tích 1221 = 3 . 11 . 37, 3663 = 3² . 11 . 37. ƯCLN(1221, 3663) = 3 . 11 . 37 = 1221. Rút gọn: 1221 : 1221 / 3663 : 1221 = 1/3.
• 2153/31995: Phân tích 2153 = 17 . 126 + 11 (2153 là số nguyên tố), 31995 = 3 . 5 . 2133 = 3 . 5 . 3 . 711 = 3³ . 5 . 3 . 237 = 3⁴ . 5 . 3 . 79 = 3⁵ . 5 . 79. Cần kiểm tra lại đề bài hoặc dữ liệu. Giả sử 2153 là số nguyên tố không có ước chung với 31995. Nếu không có thông tin rõ hơn về mối quan hệ của 2153 với 31995, phân số này có thể đã tối giản hoặc có một ước số lớn. Tuy nhiên, nếu đề bài có ý đồ 2153 chia hết cho một trong các ước của 31995 hoặc ngược lại, cần thêm thông tin. Nếu không, phân số này là tối giản nếu 2153 là số nguyên tố và 31995 không chia hết cho 2153. Ta có thể thử chia 31995 cho 2153, ta được 14.86…, không phải số nguyên. Vậy, nếu 2153 là số nguyên tố thì phân số này đã tối giản. (Kiểm tra lại 2153, nó không phải là số nguyên tố. 2153 = 2153*1. Tuy nhiên 2153 không chia hết cho 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47. Cần kiểm tra với các số nguyên tố lớn hơn. Giả sử đề bài muốn 2153/31995 tối giản, thì nó có thể đã là tối giản. Tuy nhiên, với dạng bài tập này, thường sẽ có ước chung. Giả định có thể là lỗi đề bài hoặc có số lớn hơn.
  Giả sử, nếu 2153 = 71 * 30 + 23, không có ước số nhỏ.Kiểm tra lại số 2153:
  2153 / 7 = 307.5
  2153 / 17 = 126.6
  2153 / 43 = 50.06
  2153 / 79 = 27.25
  2153 là một số nguyên tố.
  Vì 2153 là số nguyên tố và 31995 không chia hết cho 2153, nên phân số 2153/31995 là phân số tối giản.

Lời giải:

Vì học sinh được gắn số 12 đứng đối diện với học sinh được gắn số 30, nên số học sinh trong vòng tròn là một số chẵn.

Số học sinh từ 12 đến 30 (theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ) là 30 – 12 = 18 học sinh.

Vì hai học sinh đối diện nhau, nên nửa vòng tròn có 18 học sinh.

Tổng số học sinh trong vòng tròn là 18 * 2 = 36 học sinh.

Nhóm 1 có các học sinh từ 1 đến 12, vậy có 12 học sinh.

Nhóm 2 có các học sinh từ 13 đến 36, vậy có 36 – 12 = 24 học sinh.

a) Gọi số câu lạc bộ là k.

Để số học sinh ở từng nhóm của mỗi câu lạc bộ là như nhau, k phải là ước chung của số học sinh nhóm 1 và số học sinh nhóm 2.

Tức là k là ước chung của 12 và 24.

Ta tìm ƯCLN(12, 24).

12 = 2² . 3

24 = 2³ . 3

ƯCLN(12, 24) = 2² . 3 = 12.

Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Theo đề bài, số câu lạc bộ nhiều hơn 1, nên k có thể là 2, 3, 4, 6, 12.

Vậy, Thầy An có 5 cách để chia học sinh vào các câu lạc bộ (2, 3, 4, 6 hoặc 12 câu lạc bộ).

b) Số câu lạc bộ nhiều nhất mà thầy An có thể chia là ƯCLN(12, 24) = 12 câu lạc bộ.