Giải Bài 119 tới bài 127 tiết 13 chương I (trang 36-37) SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

Lời giải:

Để tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố đã chọn, lấy số mũ lớn nhất.

Bước 4: Nhân các thừa số đã chọn với số mũ lớn nhất của chúng.

a) 19 và 40

19 = 19 (19 là số nguyên tố)

40 = 2³ . 5

Thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 5, 19.

Số mũ lớn nhất: 2³, 5¹, 19¹.

BCNN(19, 40) = 2³ . 5 . 19 = 8 . 5 . 19 = 40 . 19 = 760.

b) 27 và 315

27 = 3³

315 = 3² . 5 . 7

Thừa số nguyên tố chung và riêng: 3, 5, 7.

Số mũ lớn nhất: 3³, 5¹, 7¹.

BCNN(27, 315) = 3³ . 5 . 7 = 27 . 5 . 7 = 135 . 7 = 945.

c) 60, 72, 63

60 = 2² . 3 . 5

72 = 2³ . 3²

63 = 3² . 7

Thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 5, 7.

Số mũ lớn nhất: 2³, 3², 5¹, 7¹.

BCNN(60, 72, 63) = 2³ . 3² . 5 . 7 = 8 . 9 . 5 . 7 = 72 . 35 = 2520.

d) 60, 100, 140

60 = 2² . 3 . 5

100 = 2² . 5²

140 = 2² . 5 . 7

Thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 5, 7.

Số mũ lớn nhất: 2², 3¹, 5², 7¹.

BCNN(60, 100, 140) = 2² . 3 . 5² . 7 = 4 . 3 . 25 . 7 = 12 . 175 = 2100.

Lời giải:

Số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12, nghĩa là số đó là bội chung của BCNN(11, 12).

Vì 11 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(11, 12) = 1), nên BCNN(11, 12) = 11 . 12 = 132.

Các bội của 132 là: 0, 132, 264, 396, 528, 660, 792, 924, 1056, …

Các số có ba chữ số là bội của 132 là: 132, 264, 396, 528, 660, 792, 924.

Có 7 số như vậy.

Vậy, có 7 số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12.

Lời giải:

Số ngày ít nhất để cả ba tàu lại cùng cập cảng là BCNN của 5, 8 và 10.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

5 = 5

8 = 2³

10 = 2 . 5

BCNN(5, 8, 10) = 2³ . 5 = 8 . 5 = 40.

Vậy, sau ít nhất 40 ngày thì cả ba tàu lại cùng cập cảng.

Lời giải:

Gọi số cây học sinh lớp 6B đã trồng là x.

Theo đề bài, x là số tự nhiên nhỏ nhất thoả mãn:

• x chia 3 dư 2 => x + 1 chia hết cho 3.
• x chia 4 dư 3 => x + 1 chia hết cho 4.
• x chia 5 dư 4 => x + 1 chia hết cho 5.
• x chia 10 dư 9 => x + 1 chia hết cho 10.

Suy ra, x + 1 là bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 5, 10.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

3 = 3

4 = 2²

5 = 5

10 = 2 . 5

BCNN(3, 4, 5, 10) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60.

Vậy, x + 1 = 60.

x = 60 – 1 = 59.

Học sinh lớp 6B đã trồng được 59 cây.

Lời giải:

Gọi số học sinh của trường là N.

Khi xếp hàng 20, 25, 30 học sinh thì đều thừa 15 học sinh, nghĩa là:

• N chia 20 dư 15 => N – 15 chia hết cho 20.
• N chia 25 dư 15 => N – 15 chia hết cho 25.
• N chia 30 dư 15 => N – 15 chia hết cho 30.

Suy ra, N – 15 là bội chung của 20, 25, 30.

Ta tìm BCNN(20, 25, 30).

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

20 = 2² . 5

25 = 5²

30 = 2 . 3 . 5

BCNN(20, 25, 30) = 2² . 3 . 5² = 4 . 3 . 25 = 12 . 25 = 300.

Các bội chung của 20, 25, 30 là các bội của 300: 0, 300, 600, 900, 1200, 1500, …

Vậy, N – 15 thuộc {0, 300, 600, 900, 1200, …}

N thuộc {15, 315, 615, 915, 1215, …}

Mặt khác, khi xếp hàng 41 học sinh thì vừa đủ, nghĩa là N chia hết cho 41.

Và số học sinh ít hơn 1200 học sinh, tức là N < 1200.

Xét các giá trị của N trong tập hợp {15, 315, 615, 915} mà nhỏ hơn 1200:

• Nếu N = 15: 15 không chia hết cho 41.
• Nếu N = 315: 315 : 41 = 7 dư 28. (Không thỏa mãn)
• Nếu N = 615: 615 : 41 = 15. (Thỏa mãn)
• Nếu N = 915: 915 : 41 = 22 dư 13. (Không thỏa mãn)

Vậy, số học sinh của trường là 615 học sinh.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là x.

Theo đề bài, ta có:

• x chia 3 dư 1 => x – 1 chia hết cho 3.
• x chia 4 dư 3 => x – 3 chia hết cho 4.
• x chia 5 dư 4 => x – 4 chia hết cho 5.

Quan sát các số dư và số chia:

3 – 1 = 2

4 – 3 = 1

5 – 4 = 1

Cách giải này không dùng phương pháp “x + k chia hết cho”.

Với dạng bài này, ta có thể viết lại như sau:

• x chia 3 dư 1 => x = 3k + 1
• x chia 4 dư 3 => x = 4m + 3
• x chia 5 dư 4 => x = 5n + 4

Thử các giá trị của x + 1:

x + 1 chia 3 dư 2 (không chia hết)

x + 1 chia 4 dư 0 (chia hết)

x + 1 chia 5 dư 0 (chia hết)

Do đó x + 1 là bội của 4 và 5.

BCNN(4, 5) = 20.

Vậy x + 1 có dạng 20k’.

x + 1 = 20, 40, 60, …

x = 19, 39, 59, …

Ta cần x chia 3 dư 1.

• 19 : 3 = 6 dư 1. (Thỏa mãn)
• 39 : 3 = 13 dư 0. (Không thỏa mãn)
• 59 : 3 = 19 dư 2. (Không thỏa mãn)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất là 19.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là x.

Theo đề bài, ta có:

• x chia 3 dư 2 => x + 1 chia hết cho 3.
• x chia 5 dư 3 => x + 2 chia hết cho 5. (Không dùng x+1 nữa)
• x chia 7 dư 4 => x + 3 chia hết cho 7. (Không dùng x+1 nữa)

Thử các trường hợp cho x + k để tìm một số chung:

Nếu ta cộng thêm một số m vào x sao cho x + m chia hết cho cả 3, 5, 7.

x chia 3 dư 2 => x = 3k + 2

x chia 5 dư 3 => x = 5m + 3

x chia 7 dư 4 => x = 7n + 4

Xét x + 1: x + 1 chia hết cho 3.

x + 1 = 3k + 3, x + 1 = 5m + 4, x + 1 = 7n + 5

Xét x + 11:

x + 11 = 3k + 2 + 11 = 3k + 13 = 3k + 12 + 1 = 3(k+4) + 1 => x + 11 chia 3 dư 1.

x + 11 = 5m + 3 + 11 = 5m + 14 = 5m + 10 + 4 = 5(m+2) + 4 => x + 11 chia 5 dư 4.

x + 11 = 7n + 4 + 11 = 7n + 15 = 7n + 14 + 1 = 7(n+2) + 1 => x + 11 chia 7 dư 1.

Thử các số có cùng hiệu: 3-2=1, 5-3=2, 7-4=3. Không có hiệu chung.

Ta sẽ tìm x sao cho x + A là bội của 3, 5, 7.

x + 1 chia hết cho 3.

x + 2 chia hết cho 5.

x + 3 chia hết cho 7.

Ta cần tìm số x sao cho:

x 2 (mod 3)

x 3 (mod 5)

x 4 (mod 7)

Thử các bội của 7 và cộng thêm 4:

• 7 . 1 + 4 = 11 (11 chia 3 dư 2, 11 chia 5 dư 1 – không thỏa mãn)
• 7 . 2 + 4 = 18 (18 chia 3 dư 0 – không thỏa mãn)
• 7 . 3 + 4 = 25 (25 chia 3 dư 1 – không thỏa mãn)
• 7 . 4 + 4 = 32 (32 chia 3 dư 2, 32 chia 5 dư 2 – không thỏa mãn)
• 7 . 5 + 4 = 39 (39 chia 3 dư 0 – không thỏa mãn)
• 7 . 6 + 4 = 46 (46 chia 3 dư 1 – không thỏa mãn)
• 7 . 7 + 4 = 53 (53 chia 3 dư 2, 53 chia 5 dư 3. Thỏa mãn cả 3 và 5. Giờ kiểm tra 7. 53 chia 7 dư 4. Thỏa mãn).

Vậy số nhỏ nhất là 53.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là A = 956xy.

A chia hết cho 6, 7, 11, 27. Suy ra A là bội chung của 6, 7, 11, 27.

Ta tìm BCNN(6, 7, 11, 27).

6 = 2 . 3

7 = 7

11 = 11

27 = 3³

BCNN(6, 7, 11, 27) = 2 . 3³ . 7 . 11 = 2 . 27 . 7 . 11 = 54 . 77 = 4158.

Số A có dạng 956xy, tức là 95600 A 95699.

A là bội của 4158. Ta tìm k sao cho 4158k nằm trong khoảng này.

95600 / 4158 22.99

95699 / 4158 23.01

Vậy k phải là 23.

A = 4158 . 23 = 95634.

Số cần tìm là 95634.

Khi đó, x = 3, y = 4.

Lời giải:

Ta có công thức: ƯCLN(a, b) . BCNN(a, b) = a . b.

Gọi d = ƯCLN(a, b).

Theo đề bài, BCNN(a, b) = 72.

Suy ra d . 72 = ab.

Vì d là ước chung lớn nhất của a và b, ta đặt a = dm và b = dn, với ƯCLN(m, n) = 1 và m < n (vì a < b).

Thay vào a + b = 42:

dm + dn = 42

d(m + n) = 42 (1)

Thay vào ab = d . BCNN(a, b):

(dm)(dn) = d . 72

d²mn = d . 72

dmn = 72 (2)

Từ (1) => d là ước của 42.

Từ (2) => d là ước của 72.

Vậy d là ước chung của 42 và 72.

ƯCLN(42, 72):

42 = 2 . 3 . 7

72 = 2³ . 3²

ƯCLN(42, 72) = 2 . 3 = 6.

Các ước chung của 42 và 72 là các ước của 6: 1, 2, 3, 6.

Xét từng trường hợp của d:

• Nếu d = 1:Từ (1): m + n = 42 / 1 = 42.

  Từ (2): mn = 72 / 1 = 72.

  Tìm hai số m, n có tổng là 42 và tích là 72. (Ví dụ, giải phương trình bậc hai X² – 42X + 72 = 0). Delta = 42^2 – 4*72 = 1764 – 288 = 1476. Căn delta không nguyên. => Không có cặp (m, n) nguyên thỏa mãn. Hoặc từ các cặp ước của 72: (1,72) sum 73; (2,36) sum 38; (3,24) sum 27; (4,18) sum 22; (6,12) sum 18; (8,9) sum 17. Không có cặp nào có tổng là 42. Loại trường hợp d=1.

• Nếu d = 2:Từ (1): m + n = 42 / 2 = 21.

  Từ (2): mn = 72 / 2 = 36.

  Cặp số (m, n) có tổng 21 và tích 36. (Ví dụ, giải X² – 21X + 36 = 0). Delta = 21^2 – 4*36 = 441 – 144 = 297. Căn delta không nguyên. Loại trường hợp d=2. Hoặc từ các cặp ước của 36: (1,36) sum 37; (2,18) sum 20; (3,12) sum 15; (4,9) sum 13; (6,6) sum 12. Không có cặp nào có tổng là 21.

• Nếu d = 3:Từ (1): m + n = 42 / 3 = 14.

  Từ (2): mn = 72 / 3 = 24.

  Cặp số (m, n) có tổng 14 và tích 24. (Ví dụ, giải X² – 14X + 24 = 0). Delta = 14^2 – 4*24 = 196 – 96 = 100. Căn delta = 10. X = (14 +- 10)/2. X1 = 12, X2 = 2. Vậy (m, n) = (2, 12). Kiểm tra ƯCLN(2, 12) = 2 ≠ 1. (Không thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1). Loại trường hợp d=3.

• Nếu d = 6:Từ (1): m + n = 42 / 6 = 7.

  Từ (2): mn = 72 / 6 = 12.

  Cặp số (m, n) có tổng 7 và tích 12. (Ví dụ, giải X² – 7X + 12 = 0). Delta = 7^2 – 4*12 = 49 – 48 = 1. Căn delta = 1. X = (7 +- 1)/2. X1 = 4, X2 = 3. Vậy (m, n) = (3, 4) hoặc (4, 3).

  Kiểm tra ƯCLN(3, 4) = 1. (Thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1).

  Vì 0 < a < b nên m < n. Vậy (m, n) = (3, 4).

  a = dm = 6 . 3 = 18.

  b = dn = 6 . 4 = 24.

Vậy, hai số tự nhiên cần tìm là a = 18 và b = 24.