Giải Bài 61 tới bài 71 Bài tập cuối chương II (trang 87-88) SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

Chào mừng các em học sinh và quý phụ huynh đến với bài viết giải chi tiết các bài tập từ Bài 61 đến Bài 71 trong phần Bài tập cuối Chương II của Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 6 Cánh Diều tập 1. Các lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các bài tập tương tự có đáp án giúp các em củng cố toàn bộ kiến thức đã học trong chương.

Tài liệu tham khảo thêm:

Để có thêm tài liệu và lời giải chi tiết cho các phần khác của sách SBT Toán lớp 6 Cánh Diều tập 1, các em có thể tham khảo các đường dẫn sau:

• Giải SBT Toán lớp 6 Cánh Diều tập 1 – Tổng hợp
• Giải Bài 40 tới Bài 50 Tiết 5 Chương II (trang 81-83) SBT Toán lớp 6 Cánh Diều tập 1
• Giải Bài 30 tới Bài 39 Tiết 4 Chương II (trang 78-80) SBT Toán lớp 6 Cánh Diều tập 1
• Giải Bài 19 tới Bài 29 Tiết 3 Chương II (trang 76-77) SBT Toán lớp 6 Cánh Diều tập 1

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

Giải Bài 61 trang 87 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

61. Tính một cách hợp lí:

a) (2021 – 39) + [(–21) + (–61)];

Giải:

(2021 – 39) + [(-21) + (-61)] = 1982 + (-82) = 1982 – 82 = 1900

b) (–652) – { (–547) – 352 – [(–147) – (–735) + (2200 + 65)]};

Giải:

(–652) – { (–547) – 352 – [(–147) – (–735) + (2200 + 65)]}

= -652 – {-547 – 352 – [-147 + 735 + 2200 + 65]}

= -652 – {-547 – 352 – [588 + 2265]}

= -652 – {-547 – 352 – 2853}

= -652 – {-899 – 2853}

= -652 – {-3752}

= -652 + 3752 = 3100

c) (–16) . 125 . [(–3) . 2^] . 5^2;

Giải:

(–16) . 125 . [(–3) . 2^2] . 5^2 (Lưu ý: 2^ và 5^2 có thể là 2^4 và 5^2. Tôi sẽ tính theo 2^4 và 5^2. Nếu là 2 và 5 thì phép tính sẽ khác. Dựa vào hình ảnh, 2^ có mũ là 4, 5^ có mũ là 2)

= (-16) . 125 . [(-3) . 16] . 25

= (-16) . 125 . (-48) . 25

= [(-16) . 25] . [125 . (-48)]

= (-400) . (-6000)

= 2400000

d) (134 – 34) . (–28) + 72 . (–55 – 45).

Giải:

(134 – 34) . (–28) + 72 . (–55 – 45)

= 100 . (-28) + 72 . (-100)

= -2800 – 7200

= -10000

Bài tập tương tự 61:

1. Tính hợp lí: [(-250) + 120 – (-30)] : 10

Đáp án: [-250 + 120 + 30] : 10 = [-130 + 30] : 10 = -100 : 10 = -10

Giải Bài 62 trang 87 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

62. Tìm số nguyên x, biết:

a) (–300) : 20 + 5 . (3x – 1) = 25;

Giải:

-15 + 5 . (3x – 1) = 25

5 . (3x – 1) = 25 + 15

5 . (3x – 1) = 40

3x – 1 = 40 : 5

3x – 1 = 8

3x = 8 + 1

3x = 9

x = 9 : 3

x = 3

b) (5 . 13^2 = 25 . (5 + x)^2) (Lưu ý: Phần này bị mờ, tôi sẽ giả định đề bài là 5 . 13^2 = 25 . (5 + x)^2)

Giải:

5 . 169 = 25 . (5 + x)^2

845 = 25 . (5 + x)^2

(5 + x)^2 = 845 : 25

(5 + x)^2 = 33.8 (Đây không phải số chính phương, có thể đề bài có lỗi hoặc tôi đã đọc sai. Kiểm tra lại đề bài trên ảnh gốc).

Nếu là (5 . 13)^2 = 25 . (5 + x)^2:

65^2 = 25 . (5 + x)^2

4225 = 25 . (5 + x)^2

(5 + x)^2 = 4225 : 25

(5 + x)^2 = 169

5 + x = 13 hoặc 5 + x = -13

Trường hợp 1: 5 + x = 13 => x = 8

Trường hợp 2: 5 + x = -13 => x = -18

Vậy x thuộc {8, -18}.

Tôi sẽ tiếp tục giải theo giả định thứ hai vì nó cho ra nghiệm nguyên hợp lý hơn cho bài toán lớp 6.

c) (x – 5) . (3x – 6) = 0;

Giải:

Tích của hai thừa số bằng 0 khi ít nhất một trong hai thừa số bằng 0.

Trường hợp 1: x – 5 = 0 => x = 5

Trường hợp 2: 3x – 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2

Vậy x thuộc {2, 5}.

d) (2x + 1)^2 . (x – 6) > 0;

Giải:

Để (2x + 1)^2 . (x – 6) > 0, ta xét từng thừa số:

• (2x + 1)^2 >= 0 với mọi x.
• Để tích lớn hơn 0, (2x + 1)^2 phải khác 0, tức là 2x + 1 # 0 => x # -1/2.
• Khi đó, (2x + 1)^2 là một số dương.

Vậy để tích dương, (x – 6) phải là một số dương.

x – 6 > 0 => x > 6.

Kết hợp với x nguyên, ta có x thuộc {7, 8, 9, …}.

e) (x + 1) . (x – 4) < 0.

Giải:

Để tích của hai thừa số nhỏ hơn 0 (là số âm), thì hai thừa số phải trái dấu.

Trường hợp 1: x + 1 > 0 và x – 4 < 0

• x + 1 > 0 => x > -1
• x – 4 < 0 => x < 4

Kết hợp lại ta được -1 < x < 4. Với x nguyên, x thuộc {0, 1, 2, 3}.

Trường hợp 2: x + 1 < 0 và x – 4 > 0

• x + 1 < 0 => x < -1
• x – 4 > 0 => x > 4

Không có số nguyên x nào thỏa mãn đồng thời x < -1 và x > 4.

Vậy x thuộc {0, 1, 2, 3}.

Bài tập tương tự 62:

1. Tìm x, biết: 4 . (2x + 5) – 30 = 10.

Đáp án: 4(2x + 5) = 40 => 2x + 5 = 10 => 2x = 5 => x = 5/2 (không phải số nguyên).

2. Tìm x nguyên, biết: (x + 2) . (x – 7) = 0.

Đáp án: x + 2 = 0 => x = -2. Hoặc x – 7 = 0 => x = 7. Vậy x thuộc {-2, 7}.

3. Tìm x nguyên, biết: (x – 3) . (x + 5) < 0.

Đáp án: Để tích âm, x – 3 và x + 5 trái dấu.

• x – 3 > 0 và x + 5 < 0 => x > 3 và x < -5 (vô lý).
• x – 3 < 0 và x + 5 > 0 => x < 3 và x > -5 => -5 < x < 3.

Vậy x thuộc {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}.

Giải Bài 63 trang 87 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

63. Tìm các giá trị thích hợp của chữ số a, sao cho:

a) a40 : 10 < 23;

Giải:

a40 là số có ba chữ số, với a là chữ số hàng trăm (a # 0).

a40 : 10 = a4.

Ta có a4 < 23.

Vì a là chữ số hàng chục của a4 và a # 0, nên a có thể là 1 hoặc 2.

• Nếu a = 1, ta có 14 < 23 (đúng).
• Nếu a = 2, ta có 24 < 23 (sai).

Vậy a = 1.

b) (–820) : 5 . 2^? < 4a; (Lưu ý: 2^? có thể là 2^2 hoặc 2^3 tùy theo độ mờ của ảnh. Tôi sẽ giả sử là 2^2)

Giải:

(-820) : 5 . 2^2 < 4a

-164 . 4 < 4a

-656 < 4a

4a là số có hai chữ số, với a là chữ số hàng đơn vị (a có thể là 0, 1, …, 9).

Vì -656 là một số âm rất nhỏ, và 4a luôn là số dương (vì a là chữ số, 4a > 0).

Một số âm luôn nhỏ hơn một số dương.

Vậy bất đẳng thức -656 < 4a luôn đúng với mọi chữ số a thỏa mãn 4a là số có hai chữ số (tức a không phải là số làm cho 4a chỉ có 1 chữ số, nhưng 4a là số có 2 chữ số rồi).

Vậy a thuộc {0, 1, 2, …, 9}. (Vì 4a luôn dương hoặc 0 nếu a = 0)

Để 4a là số có hai chữ số thì a phải là số từ 0 đến 9.

Kết quả là mọi chữ số a từ 0 đến 9 đều thỏa mãn.

c) a98 < 4340 : 5 < 8a0.

Giải:

Tính giá trị trung gian: 4340 : 5 = 868.

Ta có: a98 < 868 < 8a0.

Xét a98 < 868:

Vì a là chữ số hàng trăm, a # 0.

Nếu a = 1, 198 < 868 (đúng).

…

Nếu a = 7, 798 < 868 (đúng).

Nếu a = 8, 898 < 868 (sai).

Vậy a có thể là {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Xét 868 < 8a0:

a là chữ số hàng chục.

Nếu a = 0, 868 < 800 (sai).

Nếu a = 1, 868 < 810 (sai).

…

Nếu a = 6, 868 < 860 (sai).

Nếu a = 7, 868 < 870 (đúng).

…

Nếu a = 9, 868 < 890 (đúng).

Vậy a có thể là {7, 8, 9}.

Kết hợp hai điều kiện, a phải thuộc cả hai tập hợp.

a thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} giao {7, 8, 9}.

Vậy a = 7.

Giải Bài 64 trang 87 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

64. Tính A – B, biết rằng A là tích của các số nguyên âm chẵn có một chữ số và B là tổng của các số nguyên dương lẻ có hai chữ số.

Giải:

Các số nguyên âm chẵn có một chữ số là: -2, -4, -6, -8.

A là tích của các số này: A = (-2) . (-4) . (-6) . (-8)

A = (2 . 4) . (6 . 8) = 8 . 48 = 384.

Các số nguyên dương lẻ có hai chữ số là: 11, 13, …, 99.

Đây là một dãy số cấp số cộng với số hạng đầu là 11, công sai là 2, số hạng cuối là 99.

Số lượng số hạng: (99 – 11) : 2 + 1 = 88 : 2 + 1 = 44 + 1 = 45 số.

B là tổng của các số này: B = (11 + 99) . 45 : 2

B = 110 . 45 : 2 = 55 . 45 = 2475.

Tính A – B:

A – B = 384 – 2475 = -2091.

Bài tập tương tự 64:

1. Tính C + D, biết C là tổng các số nguyên âm lẻ có hai chữ số và D là tích các số nguyên dương chẵn có một chữ số (khác 0).

Đáp án:

Các số nguyên âm lẻ có hai chữ số: -99, -97, …, -11.

Số lượng số: ((-11) – (-99)) : 2 + 1 = (88) : 2 + 1 = 44 + 1 = 45 số.

C = ((-99) + (-11)) . 45 : 2 = (-110) . 45 : 2 = -55 . 45 = -2475.

Các số nguyên dương chẵn có một chữ số (khác 0): 2, 4, 6, 8.

D = 2 . 4 . 6 . 8 = 8 . 48 = 384.

C + D = -2475 + 384 = -2091.

Giải Bài 65 trang 87 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

65. Bạn Nam muốn điền các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 vào các ô trống ở bảng bên sao cho tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo bằng nhau. Tính tổng bốn số ở bốn ô được tô đậm.

	?

(Lưu ý: Bạn đã cung cấp một hình ảnh với bảng ma thuật 3×3 và các ô tô đậm. Tôi sẽ xác định các ô tô đậm đó và giải quyết bài toán).

Giải:

Các số cần điền là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. (Thiếu số 7 so với dãy liên tiếp 1-9)

Đây là một bảng ma thuật (Magic Square) 3×3. Tổng các số từ 1 đến 9 là 45.

Nếu là các số từ 1 đến 9, tổng mỗi hàng/cột/đường chéo sẽ là 45 / 3 = 15.

Ở đây thiếu số 7. Tổng các số là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 = 38.

Vì vậy, tổng mỗi hàng/cột/đường chéo sẽ không phải là 15.

Một bảng ma thuật 3×3 với các số từ 1 đến 9 thường có số ở giữa là 5.

Ở đây không có số 7, vậy tổng các số không phải 45.

Số ở giữa là trung bình cộng của các số được điền. (1+2+3+4+5+6+8+9)/9 = 38/9, không phải số nguyên.

Do đó, đây không phải là bảng ma thuật chuẩn theo kiểu tổng cố định.

Kiểm tra hình ảnh, các ô tô đậm là ô góc trên bên trái, ô góc trên bên phải, ô góc dưới bên trái, ô góc dưới bên phải.

Đây là một bài toán khó nếu không biết cách xây dựng bảng ma thuật với tập hợp số cho trước.

Tôi sẽ cố gắng xây dựng một bảng ma thuật với các số đã cho (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9).

Tổng các số là 38. Trung bình 38/3 không nguyên.

Có thể đề bài ngụ ý rằng có một số trung tâm không phải là trung bình cộng.

Với các số đã cho, không thể tạo ra một “bảng ma thuật” mà tổng mỗi hàng/cột/đường chéo là một số nguyên.

Để giải bài này, cần có phương pháp đặc biệt hoặc giả định thêm về cách tạo bảng. Nếu tổng mỗi hàng/cột/đường chéo là T, thì 3T = tổng tất cả các số = 38. Nhưng 38 không chia hết cho 3.

Kết luận: Dựa vào thông tin và các số đã cho, không thể tạo ra một bảng ma thuật 3×3 với tổng mỗi hàng, mỗi cột, và mỗi đường chéo là bằng nhau và là số nguyên. Có thể đề bài có lỗi hoặc yêu cầu này vượt quá kiến thức lớp 6.

Giải Bài 66 trang 87 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

66. Cho bảng 3 x 3 ô vuông.

a) Viết 9 số nguyên khác 0 vào 9 ô của bảng. Biết rằng tích các số ở mỗi dòng đều là số nguyên âm. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại một cột mà tích các số ở cột ấy là số nguyên âm.

Giải:

Gọi a_ij là số ở hàng i, cột j (i, j thuộc {1, 2, 3}).

Tích các số ở mỗi dòng đều là số nguyên âm:

Tích dòng 1: R1 = a11 . a12 . a13 < 0

Tích dòng 2: R2 = a21 . a22 . a23 < 0

Tích dòng 3: R3 = a31 . a32 . a33 < 0

Xét tích của tất cả các số trong bảng, P_all = R1 . R2 . R3.

Vì R1, R2, R3 đều là số âm, nên P_all = (âm) . (âm) . (âm) = âm.

Mặt khác, P_all cũng là tích của các số ở mỗi cột: P_all = C1 . C2 . C3, trong đó:

C1 = a11 . a21 . a31

C2 = a12 . a22 . a32

C3 = a13 . a23 . a33

Nếu giả sử cả ba tích cột C1, C2, C3 đều là số nguyên dương hoặc bằng 0, thì P_all sẽ là số dương hoặc 0.

Nhưng chúng ta đã chứng minh P_all là số âm.

Do đó, giả định cả ba tích cột đều là số dương hoặc 0 là sai.

Vậy phải tồn tại ít nhất một cột mà tích các số ở cột ấy là số nguyên âm.

b) Có thể điền được hay không 9 số nguyên vào 9 ô của bảng sao cho tổng các số ở ba dòng lần lượt bằng –15, –18, 78 và tổng các số ở ba cột lần lượt bằng 24, –12, 65?

Giải:

Gọi S_d1, S_d2, S_d3 lần lượt là tổng các số ở ba dòng.

Gọi S_c1, S_c2, S_c3 lần lượt là tổng các số ở ba cột.

Tổng tất cả các số trong bảng, tính theo dòng:

S_total = S_d1 + S_d2 + S_d3 = (-15) + (-18) + 78 = -33 + 78 = 45.

Tổng tất cả các số trong bảng, tính theo cột:

S_total = S_c1 + S_c2 + S_c3 = 24 + (-12) + 65 = 12 + 65 = 77.

Vì tổng tất cả các số trong bảng phải là duy nhất, mà 45 # 77.

Do đó, không thể điền được 9 số nguyên vào 9 ô của bảng thỏa mãn điều kiện đề bài.

Giải Bài 67 trang 88 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

67. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n:

a) n . (n + 1) . (n + 2) chia hết cho 2 và 3;

Giải:

Để chứng tỏ n . (n + 1) . (n + 2) chia hết cho 2:

Trong ba số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2, luôn có ít nhất một số chẵn.

Do đó, tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

Để chứng tỏ n . (n + 1) . (n + 2) chia hết cho 3:

Trong ba số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2, luôn có đúng một số chia hết cho 3.

Do đó, tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

Vì n . (n + 1) . (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3, và 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên n . (n + 1) . (n + 2) chia hết cho 2 . 3 = 6.

(Việc chia hết cho 6 cũng bao hàm chia hết cho 2 và 3).

b) n . (n + 1) . (n + 2) . (n + 3) chia hết cho 3 và 8.

Giải:

Để chứng tỏ n . (n + 1) . (n + 2) . (n + 3) chia hết cho 3:

Trong bốn số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2, n + 3, luôn có ít nhất một số chia hết cho 3.

Do đó, tích của bốn số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

Để chứng tỏ n . (n + 1) . (n + 2) . (n + 3) chia hết cho 8:

Trong bốn số nguyên liên tiếp, luôn có hai số chẵn liên tiếp, một trong hai số đó chia hết cho 4 và số còn lại chia hết cho 2.

Ví dụ: n = 2k. Tích là 2k(2k+1)(2k+2)(2k+3) = 2k(2k+1)2(k+1)(2k+3) = 4k(k+1)(2k+1)(2k+3). Vì k(k+1) luôn chia hết cho 2, nên 4k(k+1) chia hết cho 8.

Do đó, tích của bốn số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 8.

Vì n . (n + 1) . (n + 2) . (n + 3) chia hết cho cả 3 và 8, và 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên tích này chia hết cho 3 . 8 = 24.

(Việc chia hết cho 24 cũng bao hàm chia hết cho 3 và 8).

Giải Bài 68 trang 88 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

68. a) Có tồn tại số tự nhiên n để n^2 + n + 2 chia hết cho 5 hay không?

Giải:

Ta có: n^2 + n + 2 = n(n + 1) + 2.

Tích n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Tích này luôn là một số chẵn.

Xét các trường hợp của n khi chia cho 5:

• Nếu n có tận cùng là 0 hoặc 5 (n chia hết cho 5): n(n + 1) có tận cùng là 0. Khi đó n(n + 1) + 2 có tận cùng là 2. (Không chia hết cho 5)
• Nếu n có tận cùng là 1 hoặc 6: n + 1 có tận cùng là 2 hoặc 7. n(n + 1) có tận cùng là 1 . 2 = 2 hoặc 6 . 7 = 42 (tận cùng là 2). Khi đó n(n + 1) + 2 có tận cùng là 2 + 2 = 4. (Không chia hết cho 5)
• Nếu n có tận cùng là 2 hoặc 7: n + 1 có tận cùng là 3 hoặc 8. n(n + 1) có tận cùng là 2 . 3 = 6 hoặc 7 . 8 = 56 (tận cùng là 6). Khi đó n(n + 1) + 2 có tận cùng là 6 + 2 = 8. (Không chia hết cho 5)
• Nếu n có tận cùng là 3 hoặc 8: n + 1 có tận cùng là 4 hoặc 9. n(n + 1) có tận cùng là 3 . 4 = 12 (tận cùng là 2) hoặc 8 . 9 = 72 (tận cùng là 2). Khi đó n(n + 1) + 2 có tận cùng là 2 + 2 = 4. (Không chia hết cho 5)
• Nếu n có tận cùng là 4 hoặc 9: n + 1 có tận cùng là 5 hoặc 0. n(n + 1) có tận cùng là 4 . 5 = 20 (tận cùng là 0) hoặc 9 . 0 = 0 (tận cùng là 0). Khi đó n(n + 1) + 2 có tận cùng là 0 + 2 = 2. (Không chia hết cho 5)

Trong mọi trường hợp, n(n + 1) + 2 không chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n^2 + n + 2 chia hết cho 5.

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n vừa là tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp, vừa là tổng của 7 số tự nhiên liên tiếp.

Giải:

Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp có dạng:

n = k + (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) + (k + 4) = 5k + 10 = 5(k + 2).

Vậy n phải là một số chia hết cho 5.

Tổng của 7 số tự nhiên liên tiếp có dạng:

n = m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4) + (m + 5) + (m + 6) = 7m + 21 = 7(m + 3).

Vậy n phải là một số chia hết cho 7.

Vì n chia hết cho cả 5 và 7, mà 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên n phải chia hết cho BCNN(5, 7) = 35.

Các bội của 35 là {0, 35, 70, 105, …}.

Ta cần tìm n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện.

• Nếu n = 0: 5(k + 2) = 0 => k = -2 (không phải số tự nhiên).
• Nếu n = 35:
  • 5(k + 2) = 35 => k + 2 = 7 => k = 5. (5 số liên tiếp: 5, 6, 7, 8, 9. Tổng là 35)
  • 7(m + 3) = 35 => m + 3 = 5 => m = 2. (7 số liên tiếp: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tổng là 35)

Vậy n = 35 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn.

Giải Bài 69 trang 88 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

69. Tìm số nguyên x, biết:

a) 2x – 1 là bội của x – 3;

Giải:

2x – 1 là bội của x – 3 có nghĩa là (2x – 1) chia hết cho (x – 3).

Ta có: 2x – 1 = 2(x – 3) + 6 – 1 = 2(x – 3) + 5.

Để (2x – 1) chia hết cho (x – 3), thì 2(x – 3) + 5 phải chia hết cho (x – 3).

Vì 2(x – 3) luôn chia hết cho (x – 3), nên 5 phải chia hết cho (x – 3).

Tức là (x – 3) là ước của 5.

Các ước của 5 là {-5, -1, 1, 5}.

• x – 3 = -5 => x = -2
• x – 3 = -1 => x = 2
• x – 3 = 1 => x = 4
• x – 3 = 5 => x = 8

Vậy x thuộc {-2, 2, 4, 8}.

b) 2x + 1 là ước của 3x + 2;

Giải:

2x + 1 là ước của 3x + 2 có nghĩa là (3x + 2) chia hết cho (2x + 1).

Để dễ dàng biến đổi, ta nhân (3x + 2) với 2:

2(3x + 2) = 6x + 4.

Ta có: 6x + 4 = 3(2x + 1) + 1.

Vì 2(3x + 2) chia hết cho (2x + 1), và 3(2x + 1) chia hết cho (2x + 1), nên 1 phải chia hết cho (2x + 1).

Tức là (2x + 1) là ước của 1.

Các ước của 1 là {-1, 1}.

• 2x + 1 = -1 => 2x = -2 => x = -1
• 2x + 1 = 1 => 2x = 0 => x = 0

Vậy x thuộc {-1, 0}.

c) (x – 4) . (x + 2) + 6 không là bội của 9;

Giải:

Biểu thức: (x – 4) . (x + 2) + 6.

Đây là dạng bài “không là bội của 9”, thường sẽ thử các giá trị của x theo modulo 9 hoặc phân tích biểu thức.

Khai triển: x^2 – 2x – 8 + 6 = x^2 – 2x – 2.

Kiểm tra x = 0: 0^2 – 2(0) – 2 = -2 (không chia hết cho 9).

Kiểm tra x = 1: 1^2 – 2(1) – 2 = 1 – 2 – 2 = -3 (không chia hết cho 9).

Kiểm tra x = 2: 2^2 – 2(2) – 2 = 4 – 4 – 2 = -2 (không chia hết cho 9).

…

Bài này hỏi “không là bội của 9” tức là chứng minh với mọi x thì biểu thức đó không chia hết cho 9, hoặc tìm các giá trị x để điều đó đúng. Nếu là tìm x, thì câu hỏi nên rõ ràng hơn.

Nếu câu hỏi là “Chứng tỏ rằng (x – 4) . (x + 2) + 6 không là bội của 9 với mọi x nguyên”, thì đây là một bài toán khó.

Giả sử yêu cầu là tìm x để biểu thức đó không là bội của 9. Thì có rất nhiều giá trị x thỏa mãn.

Nếu là chứng minh, ta xét modulo 9:

x^2 – 2x – 2 mod 9.

x mod 9: 0, 1, 2, …, 8

x^2 mod 9: 0, 1, 4, 7, 7, 4, 1, 0, 4

2x mod 9: 0, 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7

x^2 – 2x – 2 mod 9:

• x=0: 0 – 0 – 2 = -2 đồng dư 7 (mod 9)
• x=1: 1 – 2 – 2 = -3 đồng dư 6 (mod 9)
• x=2: 4 – 4 – 2 = -2 đồng dư 7 (mod 9)
• x=3: 9(0) – 6 – 2 = -8 đồng dư 1 (mod 9)
• x=4: 16(7) – 8 – 2 = 7 – 8 – 2 = -3 đồng dư 6 (mod 9)
• x=5: 25(7) – 10(1) – 2 = 7 – 1 – 2 = 4 (mod 9)
• x=6: 36(0) – 12(3) – 2 = 0 – 3 – 2 = -5 đồng dư 4 (mod 9)
• x=7: 49(4) – 14(5) – 2 = 4 – 5 – 2 = -3 đồng dư 6 (mod 9)
• x=8: 64(1) – 16(7) – 2 = 1 – 7 – 2 = -8 đồng dư 1 (mod 9)

Vì kết quả không bao giờ là 0 (mod 9), nên biểu thức này không chia hết cho 9 với mọi số nguyên x.

d) 9 không là ước của (x – 2) . (x + 5) + 11.

Giải:

Biểu thức: (x – 2) . (x + 5) + 11.

Khai triển: x^2 + 3x – 10 + 11 = x^2 + 3x + 1.

Tương tự câu c), ta xét modulo 9.

x^2 + 3x + 1 mod 9:

• x=0: 0 + 0 + 1 = 1 (mod 9)
• x=1: 1 + 3 + 1 = 5 (mod 9)
• x=2: 4 + 6 + 1 = 11 đồng dư 2 (mod 9)
• x=3: 9(0) + 9(0) + 1 = 1 (mod 9)
• x=4: 16(7) + 12(3) + 1 = 7 + 3 + 1 = 11 đồng dư 2 (mod 9)
• x=5: 25(7) + 15(6) + 1 = 7 + 6 + 1 = 14 đồng dư 5 (mod 9)
• x=6: 36(0) + 18(0) + 1 = 1 (mod 9)
• x=7: 49(4) + 21(3) + 1 = 4 + 3 + 1 = 8 (mod 9)
• x=8: 64(1) + 24(6) + 1 = 1 + 6 + 1 = 8 (mod 9)

Vì kết quả không bao giờ là 0 (mod 9), nên biểu thức này không chia hết cho 9 với mọi số nguyên x.

Giải Bài 70 trang 88 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

70. Tìm số nguyên a, b, sao cho:

a) (2a – 1) . (b + 3) = 1;

Giải:

Vì a, b là số nguyên nên (2a – 1) và (b + 3) cũng là các số nguyên.

Tích của hai số nguyên bằng 1 khi cả hai số là 1 hoặc cả hai số là -1.

Trường hợp 1: 2a – 1 = 1 và b + 3 = 1

• 2a – 1 = 1 => 2a = 2 => a = 1
• b + 3 = 1 => b = -2

Trường hợp 2: 2a – 1 = -1 và b + 3 = -1

• 2a – 1 = -1 => 2a = 0 => a = 0
• b + 3 = -1 => b = -4

Vậy các cặp số nguyên (a, b) thỏa mãn là (1, -2) và (0, -4).

b) (–a) . (5 – b) = 2;

Giải:

Ta có (-a) . (5 – b) = 2.

Các cặp số nguyên có tích bằng 2 là (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).

• Trường hợp 1: -a = 1 và 5 – b = 2
  • -a = 1 => a = -1
  • 5 – b = 2 => b = 3
• Trường hợp 2: -a = 2 và 5 – b = 1
  • -a = 2 => a = -2
  • 5 – b = 1 => b = 4
• Trường hợp 3: -a = -1 và 5 – b = -2
  • -a = -1 => a = 1
  • 5 – b = -2 => b = 7
• Trường hợp 4: -a = -2 và 5 – b = -1
  • -a = -2 => a = 2
  • 5 – b = -1 => b = 6

Vậy các cặp số nguyên (a, b) thỏa mãn là (-1, 3), (-2, 4), (1, 7), (2, 6).

c) ab = 15, a + b = 11.

Giải:

Ta cần tìm hai số nguyên có tích bằng 15 và tổng bằng 11.

Các cặp số nguyên có tích bằng 15 là: (1, 15), (3, 5), (-1, -15), (-3, -5).

Kiểm tra tổng của từng cặp:

• 1 + 15 = 16 (khác 11)
• 3 + 5 = 8 (khác 11)
• -1 + (-15) = -16 (khác 11)
• -3 + (-5) = -8 (khác 11)

Trong các cặp số nguyên trên, không có cặp nào có tổng bằng 11.

Điều này cho thấy không có cặp số nguyên a, b nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện.

Vậy không tồn tại số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tập tương tự 70:

1. Tìm số nguyên x, y sao cho: (x + 2) . (y – 1) = -3.

Đáp án: Các cặp thừa số của -3 là (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1).

• x + 2 = 1 => x = -1; y – 1 = -3 => y = -2. (Cặp: -1, -2)
• x + 2 = -1 => x = -3; y – 1 = 3 => y = 4. (Cặp: -3, 4)
• x + 2 = 3 => x = 1; y – 1 = -1 => y = 0. (Cặp: 1, 0)
• x + 2 = -3 => x = -5; y – 1 = 1 => y = 2. (Cặp: -5, 2)

2. Tìm số nguyên a, b sao cho ab = 12 và a + b = -7.

Đáp án: Các cặp có tích 12: (1,12), (2,6), (3,4), (-1,-12), (-2,-6), (-3,-4).

Kiểm tra tổng: (-3) + (-4) = -7.

Vậy (a, b) là (-3, -4) hoặc (-4, -3).

Giải Bài 71 trang 88 SBT Toán lớp 6 Cánh diều tập 1

71. Tìm số nguyên x, sao cho:

a) A = x^2 + 2021 đạt giá trị nhỏ nhất;

Giải:

Để A = x^2 + 2021 đạt giá trị nhỏ nhất, thì x^2 phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì x là số nguyên, x^2 là một số không âm (x^2 >= 0).

Giá trị nhỏ nhất của x^2 là 0, khi x = 0.

Khi x = 0, A = 0^2 + 2021 = 2021.

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 2021 khi x = 0.

b) B = 2022 – 20x^2 – 22x^2 đạt giá trị lớn nhất.

Giải:

Ta có B = 2022 – 20x^2 – 22x^2 = 2022 – (20x^2 + 22x^2) = 2022 – 42x^2.

Để B đạt giá trị lớn nhất, thì 42x^2 phải đạt giá trị nhỏ nhất (vì nó bị trừ đi).

Vì x là số nguyên, x^2 là một số không âm (x^2 >= 0).

Giá trị nhỏ nhất của 42x^2 là 0, khi x = 0.

Khi x = 0, B = 2022 – 42 . 0^2 = 2022 – 0 = 2022.

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 2022 khi x = 0.

Bài tập tương tự 71:

1. Tìm số nguyên x để biểu thức M = |x – 5| + 10 đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án: Để M nhỏ nhất, |x – 5| phải nhỏ nhất.

Vì |x – 5| >= 0, giá trị nhỏ nhất của |x – 5| là 0.

Khi |x – 5| = 0 => x – 5 = 0 => x = 5.

Khi đó M = 0 + 10 = 10.

2. Tìm số nguyên y để biểu thức N = 100 – (y + 2)^2 đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án: Để N lớn nhất, (y + 2)^2 phải nhỏ nhất.

Vì (y + 2)^2 >= 0, giá trị nhỏ nhất của (y + 2)^2 là 0.

Khi (y + 2)^2 = 0 => y + 2 = 0 => y = -2.

Khi đó N = 100 – 0 = 100.

Hy vọng các lời giải và bài tập tương tự này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức. Chúc các em học tốt!