Giải SGK Toán lớp 6 Cánh diều Chương 1 Bài 12: Ước chung và Ước chung lớn nhất (trang 47-52)

Để chia số trái cây vào các đĩa sao cho mỗi đĩa có số miếng mỗi loại quả như nhau, số đĩa phải là một ước của số miếng dứa (30) và cũng là một ước của số miếng dưa hấu (48).

Tức là, số đĩa phải là một ước chung của 30 và 48.

Các ước của 30 là: Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Các ước của 48 là: Ư(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}.

Các ước chung của 30 và 48 là: ƯC(30, 48) = {1, 2, 3, 6}.

Vậy, thầy giáo có thể chia vào 1 đĩa, 2 đĩa, 3 đĩa hoặc 6 đĩa.

Số đĩa nhiều nhất mà thầy giáo có thể dùng chính là ước chung lớn nhất của 30 và 48.

ƯCLN(30, 48) = 6.

Vậy, số đĩa nhiều nhất mà thầy giáo có thể dùng là 6 đĩa.

Giải:

a) Các ước của 30 và 48:

• Các ước của 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
• Các ước của 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

b) Các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai là: 1, 2, 3, 6.

Các số này được gọi là ước chung của 30 và 48.

c) Số lớn nhất trong các ước chung của 30 và 48 là 6. Số đó được gọi là ước chung lớn nhất của 30 và 48.

Giải:

a) Số 5 là ước chung của 20 và 30 vì 5 vừa là ước của 20 (20 : 5 = 4) vừa là ước của 30 (30 : 5 = 6).

b) Số 6 không phải là ước chung của 12 và 26 vì 6 là ước của 12 (12 : 6 = 2) nhưng không là ước của 26 (26 không chia hết cho 6).

Giải:

a) Số 8 có phải là ước chung của 24 và 56 không? Vì sao?

• 24 : 8 = 3
• 56 : 8 = 7

Vì 8 là ước của 24 và 8 là ước của 56, nên 8 là ước chung của 24 và 56.

b) Số 8 có phải là ước chung của 14 và 48 không? Vì sao?

• 14 không chia hết cho 8.

Vì 8 không là ước của 14, nên 8 không phải là ước chung của 14 và 48.

c) Số 7 có phải là ước chung của 14, 49, 63 không? Vì sao?

• 14 : 7 = 2
• 49 : 7 = 7
• 63 : 7 = 9

Vì 7 là ước của 14, 7 là ước của 49 và 7 là ước của 63, nên 7 là ước chung của 14, 49, 63.

Giải:

a) Ta có bảng sau:

• Các ước của 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Các ước của 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

b) Các ước chung của 12 và 20 là: 1, 2, 4.

Vậy ƯC(12, 20) = {1; 2; 4}.

c) ƯCLN(12, 20) = 4.

Giải:

a) Dựa vào bảng, các số vừa là ước của 24 vừa là ước của 36 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Vậy ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

b) Số lớn nhất trong tập hợp ƯC(24, 36) là 12.

Vậy ƯCLN(24, 36) = 12.

c) Thực hiện phép chia ƯCLN(24, 36) cho các ước chung của hai số đó:

• 12 : 1 = 12
• 12 : 2 = 6
• 12 : 3 = 4
• 12 : 4 = 3
• 12 : 6 = 2
• 12 : 12 = 1

Kết quả cho thấy: Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Giải:

Vì ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b) = 60.

Ta cần tìm các ước của 60 có hai chữ số.

Các ước của 60 là: Ư(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.

Các ước có hai chữ số là: 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vậy tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Giải:

Vì các ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b) = 80.

Ta cần tìm các ước của 80 có hai chữ số.

Các ước của 80 là: Ư(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}.

Các ước có hai chữ số là: 10, 16, 20, 40, 80.

Vậy tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 16, 20, 40, 80.

Giải:

Ta có:

• 168 = 2³ . 3 . 7
• 180 = 2² . 3² . 5

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 168 và 180 là 2 và 3.

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 (từ 2²).
• Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 (từ 3¹).

Vậy ƯCLN(168, 180) = 2² . 3¹ = 4 . 3 = 12.

Giải:

Phân tích 126 và 162 ra thừa số nguyên tố:

• 126 = 2 . 63 = 2 . 3² . 7
• 162 = 2 . 81 = 2 . 3⁴

Chọn các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 (từ 2¹).
• Số mũ nhỏ nhất của 3 là 2 (từ 3²).

Vậy ƯCLN(126, 162) = 2¹ . 3² = 2 . 9 = 18.

Giải:

Phân tích 8 và 27 ra thừa số nguyên tố:

• 8 = 2³
• 27 = 3³

Hai số 8 và 27 không có thừa số nguyên tố chung.

Vậy ƯCLN(8, 27) = 1.

Giải:

a) Hai số 14 và 33 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?

• Phân tích 14 = 2 . 7
• Phân tích 33 = 3 . 11

Hai số 14 và 33 không có thừa số nguyên tố chung. Do đó, ƯCLN(14, 33) = 1.

Vậy hai số 14 và 33 nguyên tố cùng nhau.

b) Hãy chỉ ra một số nguyên tố cùng nhau với 6.

• Phân tích 6 = 2 . 3

Một số nguyên tố cùng nhau với 6 là một số không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3.

Ví dụ: Số 5. ƯC(5, 6) = 1. Vậy 5 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau.

(Các ví dụ khác: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, …)

Giải:

Phân tích 24 và 35 ra thừa số nguyên tố:

• 24 = 2³ . 3
• 35 = 5 . 7

Hai số 24 và 35 không có thừa số nguyên tố chung.

Vậy ƯCLN(24, 35) = 1. Do đó, hai số 24 và 35 nguyên tố cùng nhau.

Giải:

a) Tìm ƯCLN(4, 9):

• 4 = 2²
• 9 = 3²

Hai số 4 và 9 không có thừa số nguyên tố chung.

Vậy ƯCLN(4, 9) = 1.

b) Vì ƯCLN(4, 9) = 1, nên phân số 4/9 không thể rút gọn được nữa. Đây là phân số tối giản.

Giải:

a) Rút gọn phân số 16/20:

• ƯCLN(16, 20):
• 16 = 2⁴
• 20 = 2² . 5
• ƯCLN(16, 20) = 2² = 4.
• Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN: 16 : 4 = 4; 20 : 4 = 5.

Vậy 16/20 = 4/5 (phân số tối giản).

b) Tìm một phân số bằng phân số 3/5 và có tử số bằng 18.

• Ta có 18 : 3 = 6.
• Để phân số mới bằng 3/5 và có tử số là 18, ta nhân cả tử và mẫu của 3/5 với 6.
• Tử số: 3 . 6 = 18.
• Mẫu số: 5 . 6 = 30.

Vậy phân số cần tìm là 18/30.

Giải Bài 1:

Có. Số 1 là ước của mọi số tự nhiên. Do đó, 1 là ước chung của hai số tự nhiên bất kì.

Ví dụ: Ư(5) = {1, 5}, Ư(7) = {1, 7}. ƯC(5, 7) = {1}.

Giải Bài 2:

a) Để viết tập hợp ƯC(440, 495), ta cần liệt kê các ước của từng số (nếu chưa có trong hình) và tìm phần tử chung.

Ta phân tích 440 và 495 ra thừa số nguyên tố:

• 440 = 44 . 10 = 4 . 11 . 2 . 5 = 2² . 11 . 2 . 5 = 2³ . 5 . 11
• 495 = 5 . 99 = 5 . 9 . 11 = 5 . 3² . 11 = 3² . 5 . 11

Các ước của 440: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 20, 22, 40, 44, 55, 88, 110, 220, 440.

Các ước của 495: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 99, 165, 495.

Các ước chung của 440 và 495 là các số xuất hiện trong cả hai danh sách:

ƯC(440, 495) = {1, 5, 11, 55}.

b) Số lớn nhất trong ƯC(440, 495) là 55.

Vậy ƯCLN(440, 495) = 55.

Hoặc dùng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố:

Thừa số nguyên tố chung: 5 và 11.

Số mũ nhỏ nhất của 5 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 11 là 1.

Vậy ƯCLN(440, 495) = 5¹ . 11¹ = 55.

Giải Bài 3:

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

• 32 = 2⁵
• 24 = 2³ . 3
• 34 = 2 . 17

Tìm ƯCLN của từng cặp:

• ƯCLN(32, 24): Thừa số nguyên tố chung là 2. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3.ƯCLN(32, 24) = 2³ = 8.
• ƯCLN(32, 34): Thừa số nguyên tố chung là 2. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1.ƯCLN(32, 34) = 2¹ = 2.
• ƯCLN(24, 34): Thừa số nguyên tố chung là 2. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1.ƯCLN(24, 34) = 2¹ = 2.

Giải Bài 4:

Tìm ƯCLN(126, 150):

Phân tích 126 và 150 ra thừa số nguyên tố:

• 126 = 2 . 63 = 2 . 3² . 7
• 150 = 2 . 75 = 2 . 3 . 25 = 2 . 3 . 5²

Thừa số nguyên tố chung: 2 và 3.

Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.

Vậy ƯCLN(126, 150) = 2¹ . 3¹ = 2 . 3 = 6.

Tìm tất cả các ước chung của 126 và 150:

Các ước chung của 126 và 150 chính là các ước của ƯCLN(126, 150) = 6.

Các ước của 6 là: Ư(6) = {1, 2, 3, 6}.

Vậy ƯC(126, 150) = {1, 2, 3, 6}.

Giải Bài 5:

• Rút gọn 108/180:
  • 108 = 2² . 3³
  • 180 = 2² . 3² . 5
  • ƯCLN(108, 180) = 2² . 3² = 4 . 9 = 36.
  • 108 : 36 = 3
  • 180 : 36 = 5

  Vậy 108/180 = 3/5.

• Rút gọn 72/96:
  • 72 = 2³ . 3²
  • 96 = 2⁵ . 3
  • ƯCLN(72, 96) = 2³ . 3 = 8 . 3 = 24.
  • 72 : 24 = 3
  • 96 : 24 = 4

  Vậy 72/96 = 3/4.

• Rút gọn 130/270:
  • 130 = 2 . 5 . 13
  • 270 = 2 . 3³ . 5
  • ƯCLN(130, 270) = 2 . 5 = 10.
  • 130 : 10 = 13
  • 270 : 10 = 27

  Vậy 130/270 = 13/27.

• Rút gọn 300/420:
  • 300 = 3 . 100 = 3 . 10² = 3 . (2 . 5)² = 3 . 2² . 5²
  • 420 = 42 . 10 = 2 . 3 . 7 . 2 . 5 = 2² . 3 . 5 . 7
  • ƯCLN(300, 420) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60.
  • 300 : 60 = 5
  • 420 : 60 = 7

  Vậy 300/420 = 5/7.

Giải Bài 6:

Để biết một phân số có bằng 5/7 hay không, ta có thể rút gọn chúng về phân số tối giản hoặc kiểm tra tích chéo (a/b = c/d nếu a.d = b.c).

• 10/14: Rút gọn 10/14 (chia cả tử và mẫu cho 2) được 5/7. => 10/14 = 5/7.
• 20/28: Rút gọn 20/28 (chia cả tử và mẫu cho 4) được 5/7. => 20/28 = 5/7.
• 15/28: Không thể rút gọn về 5/7 (15 không chia hết cho 5, 28 không chia hết cho 7 mà cho 4). Hoặc 5 . 28 = 140, 7 . 15 = 105. 140 ≠ 105. => 15/28 ≠ 5/7.
• 25/35: Rút gọn 25/35 (chia cả tử và mẫu cho 5) được 5/7. => 25/35 = 5/7.

Vậy, phân số 5/7 bằng các phân số: 10/14, 20/28, 25/35.

Giải Bài 7:

Để chia số bạn nam và số bạn nữ đều vào các đội, số đội phải là ước của số bạn nữ (24) và cũng là ước của số bạn nam (30).

Số đội nhiều nhất có thể chia chính là ước chung lớn nhất của 24 và 30.

Phân tích 24 và 30 ra thừa số nguyên tố:

• 24 = 2³ . 3
• 30 = 2 . 3 . 5

Thừa số nguyên tố chung: 2 và 3.

Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.

ƯCLN(24, 30) = 2¹ . 3¹ = 2 . 3 = 6.

Vậy, có thể chia các bạn thành nhiều nhất 6 đội chơi.

Khi đó, mỗi đội sẽ có 24 : 6 = 4 bạn nữ và 30 : 6 = 5 bạn nam.

Giải Bài 8:

Để chia khu đất hình chữ nhật thành những mảnh hình vuông bằng nhau, cạnh của mỗi hình vuông phải là ước của chiều dài (48 m) và cũng là ước của chiều rộng (42 m).

Tức là, cạnh hình vuông phải là một ước chung của 48 và 42.

Phân tích 48 và 42 ra thừa số nguyên tố:

• 48 = 2⁴ . 3
• 42 = 2 . 3 . 7

ƯCLN(48, 42) = 2¹ . 3¹ = 6.

Các ước chung của 48 và 42 chính là các ước của ƯCLN(48, 42) = 6.

ƯC(48, 42) = Ư(6) = {1, 2, 3, 6}.

Vậy, có thể chia được thành 4 cách, với các cạnh hình vuông lần lượt là: 1 m, 2 m, 3 m, 6 m.

Với cách chia nào thì cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất?

Cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất khi nó là ước chung lớn nhất của 48 và 42.

Cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN(48, 42) = 6 m.

Giải Bài tập áp dụng:

a) ƯCLN(126, 162):

            162 : 126 = 1 (dư 36)
            126 : 36  = 3 (dư 18)
            36 : 18   = 2 (dư 0)

Vậy ƯCLN(126, 162) = 18.

b) ƯCLN(2 268, 1 260):

            2268 : 1260 = 1 (dư 1008)
            1260 : 1008 = 1 (dư 252)
            1008 : 252  = 4 (dư 0)

Vậy ƯCLN(2 268, 1 260) = 252.