Giải SGK Toán lớp 6 Cánh diều Chương 1 Bài 13: Bội chung và Bội chung nhỏ nhất (trang 53-58)

Để số quả bóng bàn bằng số cốc, số lượng này phải là một bội của 6 (số quả bóng bàn trong một hộp) và cũng là một bội của 8 (số cốc trong một bộ).

Tức là, số lượng bóng bàn và cốc phải là một bội chung của 6 và 8.

Cô Ánh cần mua “ít nhất” bao nhiêu, vậy ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 6 và 8.

Phân tích 6 và 8 ra thừa số nguyên tố:

• 6 = 2 . 3
• 8 = 2³

Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng (2 và 3) với số mũ lớn nhất:

• Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 3 (từ 2³).
• Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 3¹).

BCNN(6, 8) = 2³ . 3 = 8 . 3 = 24.

Vậy, cô Ánh phải mua ít nhất 24 quả bóng bàn và 24 chiếc cốc.

Số hộp bóng bàn cần mua là: 24 : 6 = 4 (hộp).

Số bộ cốc cần mua là: 24 : 8 = 3 (bộ).

Trả lời: Cô Ánh phải mua ít nhất 4 hộp bóng bàn và 3 bộ cốc.

Giải:

a) Một số bội của 2 và của 3 theo thứ tự tăng dần:

• Một số bội của 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
• Một số bội của 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

b) Các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai là: 0, 6, 12, 18.

Các số này được gọi là bội chung của 2 và 3.

c) Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3 là 6. Số đó được gọi là bội chung nhỏ nhất của 2 và 3.

Giải:

a) Số 18 là bội chung của 3 và 6 vì 18 chia hết cho 3 (18 : 3 = 6) và 18 chia hết cho 6 (18 : 6 = 3). Tức là 18 vừa là bội của 3 vừa là bội của 6.

b) Số 21 không phải là bội chung của 3 và 6 vì 21 chia hết cho 3 (21 : 3 = 7) nhưng không chia hết cho 6 (21 không phải là bội của 6).

Giải:

a) Các bội chung của 4 và 5 xuất hiện trong bảng là: 0, 20, 40.

b) Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 4 và 5 là 20.

Vậy BCNN(4, 5) = 20.

Giải:

Các bội của 5 là: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, …

Các bội của 9 là: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, …

Các bội chung của 5 và 9 là các số xuất hiện trong cả hai danh sách.

Bốn bội chung của 5 và 9 là: 0, 45, 90, 135 (hoặc các số khác lớn hơn như 180, 225,…).

(Để tìm nhanh các bội chung, ta tìm BCNN trước: BCNN(5, 9) = 45 (vì 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau). Các bội chung sẽ là các bội của 45: 0, 45, 90, 135, …)

Giải:

a) Dựa vào bảng, ba bội chung của 8 và 12 theo thứ tự tăng dần là: 0, 24, 48, 72.

b) Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 8 và 12 là 24.

Vậy BCNN(8, 12) = 24.

c) Thực hiện phép chia ba bội chung của 8 và 12 cho BCNN(8, 12) = 24:

• 0 : 24 = 0
• 24 : 24 = 1
• 48 : 24 = 2
• 72 : 24 = 3

Kết quả cho thấy: Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể lấy bội chung nhỏ nhất của chúng lần lượt nhân với 0, 1, 2, …

Giải:

Vì bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b) = 30.

Ta cần tìm các bội của 30 có hai chữ số.

Các bội của 30 là: 0, 30, 60, 90, 120, …

Các số có hai chữ số là bội chung của a và b là: 30, 60, 90.

Giải:

Vì các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b) = 300.

Ta cần tìm các bội của 300 có ba chữ số.

Các bội của 300 là: 0, 300, 600, 900, 1200, …

Các số có ba chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900.

Giải:

Ta có:

• 40 = 2³ . 5
• 48 = 2⁴ . 3

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng của 40 và 48, đó là 2, 3, 5.

• Số mũ lớn nhất của 2 là 4 (từ 2⁴).
• Số mũ lớn nhất của 3 là 1 (từ 3¹).
• Số mũ lớn nhất của 5 là 1 (từ 5¹).

Vậy BCNN(40, 48) = 2⁴ . 3¹ . 5¹ = 16 . 3 . 5 = 240.

Giải:

Ta có:

• 32 = 2⁵
• 24 = 2³ . 3
• 48 = 2⁴ . 3

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng của 32, 24, 48, đó là 2 và 3.

• Số mũ lớn nhất của 2 là 5 (từ 2⁵).
• Số mũ lớn nhất của 3 là 1 (từ 3¹).

Vậy BCNN(32, 24, 48) = 2⁵ . 3¹ = 32 . 3 = 96.

Giải:

Phân tích 12, 18, 27 ra thừa số nguyên tố:

• 12 = 2² . 3
• 18 = 2 . 3²
• 27 = 3³

Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng (2 và 3) với số mũ lớn nhất:

• Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 2 (từ 2²).
• Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 3 (từ 3³).

Vậy BCNN(12, 18, 27) = 2² . 3³ = 4 . 27 = 108.

Giải:

Ở tiểu học, ta đã làm như sau:

Quy đồng mẫu hai phân số bằng cách chọn mẫu chung là tích của hai mẫu:

Mẫu chung = 12 . 18 = 216.

5/12 = (5 . 18) / (12 . 18) = 90/216

7/18 = (7 . 12) / (18 . 12) = 84/216

5/12 + 7/18 = 90/216 + 84/216 = (90 + 84) / 216 = 174/216.

Rút gọn 174/216. ƯCLN(174, 216):

• 174 = 2 . 3 . 29
• 216 = 2³ . 3³
• ƯCLN(174, 216) = 2 . 3 = 6.
• 174 : 6 = 29
• 216 : 6 = 36

Vậy 5/12 + 7/18 = 29/36.

Để tính tổng hai phân số trên, ta có thể làm như sau:

• Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu. Cụ thể: Mẫu chung = BCNN(12, 18).
  • 12 = 2² . 3
  • 18 = 2 . 3²
  • BCNN(12, 18) = 2² . 3² = 4 . 9 = 36.

  Vậy mẫu chung là 36.

• Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu), ta có:
  • 36 : 12 = 3 (thừa số phụ của 12)
  • 36 : 18 = 2 (thừa số phụ của 18)
• Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng hai phân số có cùng mẫu:5/12 = (5 . 3) / (12 . 3) = 15/367/18 = (7 . 2) / (18 . 2) = 14/36

  5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = (15 + 14) / 36 = 29/36.

Giải:

• Tìm BCNN(32, 24, 48):
  • 32 = 2⁵
  • 24 = 2³ . 3
  • 48 = 2⁴ . 3
  • BCNN(32, 24, 48) = 2⁵ . 3 = 32 . 3 = 96.

  Mẫu chung là 96.

• Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu:
  • 96 : 32 = 3
  • 96 : 24 = 4
  • 96 : 48 = 2
• Quy đồng và thực hiện phép tính:9/32 = (9 . 3) / (32 . 3) = 27/9611/24 = (11 . 4) / (24 . 4) = 44/96

  5/48 = (5 . 2) / (48 . 2) = 10/96

  9/32 + 11/24 – 5/48 = 27/96 + 44/96 – 10/96 = (27 + 44 – 10) / 96 = 61/96.

Giải:

• Tìm BCNN(15, 10):
  • 15 = 3 . 5
  • 10 = 2 . 5
  • BCNN(15, 10) = 2 . 3 . 5 = 30.

  Mẫu chung là 30.

• Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu:
  • 30 : 15 = 2
  • 30 : 10 = 3
• Quy đồng và thực hiện phép tính:11/15 = (11 . 2) / (15 . 2) = 22/303/10 = (3 . 3) / (10 . 3) = 9/30

  11/15 + 3/10 = 22/30 + 9/30 = (22 + 9) / 30 = 31/30.

Giải Bài 1:

a) Các ước của 7: Ư(7) = {1, 7}.

Các ước của 8: Ư(8) = {1, 2, 4, 8}.

ƯCLN(7, 8) = 1.

b) Hai số 7 và 8 có nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(7, 8) = 1 (số 7 là số nguyên tố, số 8 không chia hết cho 7).

c) Tìm BCNN(7, 8):

• 7 = 7 (là số nguyên tố)
• 8 = 2³

BCNN(7, 8) = 7 . 2³ = 7 . 8 = 56.

So sánh bội chung nhỏ nhất đó với tích của hai số 7 và 8:

Tích của hai số 7 và 8 là 7 . 8 = 56.

Ta thấy BCNN(7, 8) = 56 và tích của 7 và 8 cũng bằng 56.

Kết luận: Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau bằng tích của hai số đó.

Giải Bài 2:

a) Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0. Do đó, 0 là bội của 6 và 0 là bội của 10. Vậy 0 là bội chung của 6 và 10.

b) Dựa vào các danh sách bội đã cho, các số xuất hiện ở cả hai danh sách là: 0, 30, 60, 90.

Vậy bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự tăng dần là: 0, 30, 60, 90.

c) Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 6 và 10 là 30.

Vậy BCNN(6, 10) = 30.

d) Các bội chung của 6 và 10 là các bội của BCNN(6, 10) = 30.

Các bội của 30 là: 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, …

Các bội chung của 6 và 10 mà nhỏ hơn 160 là: 0, 30, 60, 90, 120, 150.

Giải Bài 3:

a) BCNN(7, 13):

• 7 và 13 đều là số nguyên tố.
• Khi hai số là số nguyên tố cùng nhau (như 7 và 13), BCNN của chúng bằng tích của chúng.

BCNN(7, 13) = 7 . 13 = 91.

b) BCNN(54, 108):

• Ta thấy 108 chia hết cho 54 (108 : 54 = 2).
• Nếu a chia hết cho b, thì BCNN(a, b) = a.

Vậy BCNN(54, 108) = 108.

c) BCNN(21, 30, 70):

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

• 21 = 3 . 7
• 30 = 2 . 3 . 5
• 70 = 2 . 5 . 7

Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất:

• Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 2¹).
• Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 3¹).
• Thừa số 5 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 5¹).
• Thừa số 7 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 7¹).

BCNN(21, 30, 70) = 2 . 3 . 5 . 7 = 6 . 35 = 210.

Giải Bài 4:

a) 7/20 + 4/15:

• Tìm BCNN(20, 15):
  • 20 = 2² . 5
  • 15 = 3 . 5
  • BCNN(20, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60.

  Mẫu chung là 60.

• Thừa số phụ:
  • 60 : 20 = 3
  • 60 : 15 = 4
• Quy đồng và cộng:7/20 = (7 . 3) / (20 . 3) = 21/604/15 = (4 . 4) / (15 . 4) = 16/60

  7/20 + 4/15 = 21/60 + 16/60 = (21 + 16) / 60 = 37/60.

b) 5/12 + 7/18 – 1/36:

• Tìm BCNN(12, 18, 36):
  • 12 = 2² . 3
  • 18 = 2 . 3²
  • 36 = 2² . 3²
  • BCNN(12, 18, 36) = 2² . 3² = 4 . 9 = 36.

  Mẫu chung là 36.

• Thừa số phụ:
  • 36 : 12 = 3
  • 36 : 18 = 2
  • 36 : 36 = 1
• Quy đồng và thực hiện phép tính:5/12 = (5 . 3) / (12 . 3) = 15/367/18 = (7 . 2) / (18 . 2) = 14/36

  1/36 = (1 . 1) / (36 . 1) = 1/36

  5/12 + 7/18 – 1/36 = 15/36 + 14/36 – 1/36 = (15 + 14 – 1) / 36 = 28/36.

  Rút gọn 28/36 (chia cả tử và mẫu cho 4): 28 : 4 = 7; 36 : 4 = 9.

  Vậy 5/12 + 7/18 – 1/36 = 7/9.

Giải Bài 5:

Gọi số còn lại là x.

Ta có BCNN(5, x) = 45.

Vì 45 là bội của 5 (45 : 5 = 9).

Phân tích 45 và 5 ra thừa số nguyên tố:

• 45 = 3² . 5
• 5 = 5

Để BCNN(5, x) = 3² . 5, thì x phải chứa thừa số 3² và có thể chứa thừa số 5 (hoặc không, nếu 5 là thừa số mũ nhỏ nhất trong x so với 45).

Các ước của 45 là: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Ta thử từng trường hợp với các ước của 45 (hoặc các bội của 45):

• Nếu x = 1, BCNN(5, 1) = 5 ≠ 45.
• Nếu x = 3, BCNN(5, 3) = 15 ≠ 45.
• Nếu x = 9, BCNN(5, 9) = 45. (Thỏa mãn)
• Nếu x = 15, BCNN(5, 15) = 15 ≠ 45. (Vì 15 chia hết cho 5, BCNN(5,15)=15)
• Nếu x = 45, BCNN(5, 45) = 45. (Thỏa mãn)

Vậy số còn lại có thể là 9 hoặc 45.

Giải Bài 6:

Gọi số học sinh trong câu lạc bộ là x.

Theo đề bài, khi chia số học sinh thành từng nhóm 6 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết, điều này có nghĩa là x là bội chung của 6 và 8.

Tìm BCNN(6, 8):

• 6 = 2 . 3
• 8 = 2³
• BCNN(6, 8) = 2³ . 3 = 8 . 3 = 24.

Các bội chung của 6 và 8 là các bội của 24: 0, 24, 48, 72, …

Vì số học sinh không quá 50, nên x ≤ 50.

Từ các bội chung của 24, ta thấy các số nhỏ hơn hoặc bằng 50 là 24 và 48.

Số học sinh của câu lạc bộ có thể là 24 hoặc 48.

(Thường trong các bài toán thực tế, số 0 không được tính là một số lượng. Nếu đề bài ám chỉ số học sinh phải lớn hơn 0, thì câu trả lời sẽ là 24 hoặc 48 học sinh).

Thông thường, bài toán như thế này thường hỏi một giá trị cụ thể, nếu không có thêm điều kiện, cả 24 và 48 đều là đáp án hợp lý. Tuy nhiên, nếu có thêm điều kiện như “số học sinh là số lớn nhất có thể” hoặc “nhỏ nhất có thể”, câu trả lời sẽ rõ ràng hơn.

Giải Bài 7:

Để ba tàu lại cùng cập cảng, số ngày trôi qua phải là một bội của 10, một bội của 12 và một bội của 15.

Số ngày “ít nhất” để ba tàu cùng cập cảng chính là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 10, 12 và 15.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

• 10 = 2 . 5
• 12 = 2² . 3
• 15 = 3 . 5

Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất:

• Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 2 (từ 2²).
• Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 3¹).
• Thừa số 5 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 5¹).

BCNN(10, 12, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60.

Vậy, sau ít nhất 60 ngày thì ba tàu lại cùng cập cảng.

Giải thích:

Hệ thống lịch Can Chi kết hợp 10 can và 12 chi:

• Can lặp lại sau mỗi 10 năm.
• Chi lặp lại sau mỗi 12 năm.

Năm Giáp Tý là năm đầu tiên khi “Giáp” và “Tý” cùng xuất hiện.

Để năm Giáp Tý được lặp lại, thì số năm trôi qua phải là một bội của chu kỳ lặp lại của Can (10 năm) và cũng là một bội của chu kỳ lặp lại của Chi (12 năm).

Tức là, số năm phải là một bội chung của 10 và 12.

Số năm ít nhất để Can và Chi cùng lặp lại vị trí ban đầu (tức là quay về Giáp Tý) chính là BCNN của 10 và 12.

Tìm BCNN(10, 12):

• Phân tích 10 = 2 . 5
• Phân tích 12 = 2² . 3

Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất:

• Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 2 (từ 2²).
• Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 3¹).
• Thừa số 5 có số mũ lớn nhất là 1 (từ 5¹).

BCNN(10, 12) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60.

Vậy, cứ sau 60 năm thì năm Giáp Tý lại được lặp lại.