Giải SGK Toán lớp 6 Cánh diều Chương III Bài 1: Tam giác đều – Hình vuông – Lục giác đều (trang 93-97)

Giải:

a) Khi gấp tam giác ABC sao cho cạnh AB trùng với cạnh AC, đỉnh B trùng với đỉnh C, ta thấy:

• Cạnh AB bằng cạnh AC.
• Góc ABC bằng góc ACB.

b) Khi gấp tam giác ABC sao cho cạnh BC trùng với cạnh BA, đỉnh C trùng với đỉnh A, ta thấy:

• Cạnh BC bằng cạnh BA.
• Góc BCA bằng góc BAC.

Nhận xét: Tam giác đều ABC ở Hình 2 có:

• Ba cạnh bằng nhau: AB = BC = CA;
• Ba góc ở các đỉnh A, B, C bằng nhau.

Chú ý: Trong hình học nói chung, tam giác nói riêng, các cạnh bằng nhau (hay các góc bằng nhau) thường được chỉ rõ bằng cùng một kí hiệu (xem Hình 4).

(Hình 4: Kí hiệu cạnh bằng nhau trên tam giác đều)

Giải: Để vẽ tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 3 cm, ta làm như sau:

(Hình ảnh các bước vẽ tam giác đều bằng thước và compa)

• Bước 1. Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.
• Bước 2. Lấy A làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính AB.
• Bước 3. Lấy B làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính AB; gọi C là giao điểm của hai phần đường tròn vừa vẽ.
• Bước 4. Dùng thước vẽ các đoạn thẳng AC và BC.

Ta được tam giác đều ABC.

Giải: Thực hiện tương tự Ví dụ 1, thay độ dài cạnh là 4 cm.

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EG = 4 cm.
• Bước 2: Dùng compa vẽ cung tròn tâm E bán kính 4 cm.
• Bước 3: Dùng compa vẽ cung tròn tâm G bán kính 4 cm. Giao điểm của hai cung là H.
• Bước 4: Nối EH và GH. Ta được tam giác đều EGH.

Giải:

a) Đếm số ô vuông, ta thấy: IK = KL = LM = MH (đều bằng 4 ô vuông).

b) Quan sát, ta thấy: IK song song với ML, IM song song với KL.

c) Đếm số ô vuông (hoặc dùng thước đo), ta thấy: KM = IL (đều bằng khoảng 5,66 ô vuông đường chéo). Các em có thể đo trực tiếp trên sách giáo khoa.

d) Bốn góc ở các đỉnh I, K, L, M đều là góc vuông.

Nhận xét: Hình vuông ABCD ở Hình 6 có:

(Hình 6: Hình vuông ABCD với các kí hiệu)

• Bốn cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA;
• Hai cạnh đối AB và CD, AD và BC song song với nhau;
• Hai đường chéo bằng nhau: AC = BD;
• Bốn góc ở các đỉnh A, B, C, D là góc vuông.

Giải: Để vẽ hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 7 cm, ta làm như sau:

(Hình ảnh các bước vẽ hình vuông bằng ê ke)

• Bước 1. Vẽ theo một cạnh góc vuông của ê ke đoạn thẳng AB = 7 cm.
• Bước 2. Đặt đỉnh góc vuông của ê ke trùng với điểm A và một cạnh ê ke nằm trên AB, vẽ theo cạnh kia của ê ke đoạn thẳng AD = 7 cm.
• Bước 3. Xoay ê ke rồi thực hiện tương tự như ở Bước 2 để được cạnh BC = 7 cm (hoặc từ B vẽ đường vuông góc với AB và lấy điểm C sao cho BC = 7 cm).
• Bước 4. Vẽ đoạn thẳng CD.

Ta được hình vuông ABCD.

Giải: Thực hiện tương tự Ví dụ 2, thay độ dài cạnh là 6 cm.

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EF = 6 cm.
• Bước 2: Đặt đỉnh góc vuông của ê ke tại E, vẽ cạnh EH = 6 cm vuông góc với EF.
• Bước 3: Đặt đỉnh góc vuông của ê ke tại F, vẽ cạnh FG = 6 cm vuông góc với EF.
• Bước 4: Nối GH. Ta được hình vuông EFGH.

Giải:

a) Học sinh thực hành ghép 6 miếng bìa hình tam giác đều để tạo thành lục giác đều.

b) Sau khi ghép, vẽ đường viền xung quanh và đặt tên các đỉnh, ví dụ ABCDEG.

Nhận xét: Lục giác đều ABCDEG ở Hình 8 có:

• Sáu cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DE = EG = GA;
• Ba đường chéo chính cắt nhau tại điểm O;
• Ba đường chéo chính bằng nhau: AD = BE = CG;
• Sáu góc ở các đỉnh A, B, C, D, E, G bằng nhau.

Giải:

Trong một lục giác đều, tâm O là tâm đối xứng và cách đều tất cả các đỉnh.

Mặt khác, một lục giác đều có thể được chia thành 6 tam giác đều có cạnh bằng cạnh của lục giác và đỉnh chung là tâm O (như phần nhận xét ở trên). Do đó, các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEG, OGA đều là các tam giác đều.

Vì vậy, các cạnh của các tam giác đều này đều bằng nhau và bằng cạnh của lục giác đều.

Từ đó suy ra: OA = OB = OC = OD = OE = OG (vì chúng đều là cạnh của các tam giác đều nhỏ, và cũng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác đều).

Giải:

Mảnh vườn hình vuông có cạnh là 25 m.

Lối đi rộng 2 m được bố trí dọc theo hai cạnh của hình vuông.

Phần vườn trồng rau cũng là một hình vuông.

Chiều dài cạnh của phần vườn trồng rau là: 25 – 2 = 23 (m).

a) Diện tích phần vườn trồng rau là:

.

b) Chu vi của phần vườn trồng rau là:

.

Độ dài của hàng rào xung quanh phần vườn trồng rau, có cửa ra vào rộng 2 m là:

Độ dài hàng rào = Chu vi phần rau – chiều rộng cửa ra vào

Độ dài hàng rào = 92 – 2 = 90 (m).

Vậy diện tích phần vườn trồng rau là và độ dài hàng rào là 90 m.

Giải: Học sinh thực hành theo các bước hướng dẫn để tạo ra tam giác đều và lục giác đều từ giấy vuông.

Giải:

Để xếp được 6 tam giác đều từ 12 que diêm (có độ dài bằng nhau), ta có thể xếp thành hình tứ diện (khối chóp tam giác đều).

Một hình tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều và mỗi mặt được tạo thành từ 3 que diêm. Tổng cộng có 6 cạnh (mỗi cạnh là một que diêm).

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu 6 tam giác đều. Hình tứ diện chỉ có 4 tam giác đều (là 4 mặt của nó).

Để có 6 tam giác đều từ 12 que, chúng ta có thể xếp thành hình dạng ngôi sao David 3D, hoặc hai hình tam giác đều lớn chồng lên nhau và có một hình lục giác đều ở giữa.

Cách xếp 1: Xếp hình sao David 3D (Bát diện đều)

Đây là một hình đa diện có 8 mặt là tam giác đều, 12 cạnh và 6 đỉnh. Nếu mỗi cạnh là một que diêm, thì 12 que diêm sẽ tạo thành 12 cạnh của bát diện đều, nhưng sẽ có 8 tam giác đều (là các mặt của bát diện) chứ không phải 6.

Cách xếp 2: Xếp thành hình lăng trụ tam giác đều với hai chóp

Đây là một cách phức tạp hơn. Một lăng trụ tam giác đều có 2 đáy là tam giác và 3 mặt bên là hình chữ nhật (hoặc hình vuông nếu cạnh đáy bằng chiều cao). Để tạo ra tam giác đều, ta cần sử dụng các que diêm.

Cách xếp 3: Hai hình chóp tam giác ghép đáy (Bipyramid tam giác)

Xếp 2 tam giác đều làm đáy, dùng 3 que cho mỗi đáy (6 que). Sau đó, dùng 3 que nối từ mỗi đỉnh của một đáy đến một điểm chung ở trên, tạo thành chóp. Làm tương tự cho đáy còn lại nối xuống một điểm chung ở dưới. Tuy nhiên, cách này thường cần nhiều hơn 12 que hoặc không tạo ra đủ 6 tam giác đều.

Cách xếp thường thấy cho câu đố này là hình tứ diện (chóp tam giác đều).

Một tứ diện đều có 6 cạnh. Nếu mỗi cạnh là một que diêm, ta sẽ dùng hết 6 que diêm và tạo ra 4 mặt là các tam giác đều. (Đề bài có thể có chút nhầm lẫn ở số lượng tam giác).

Nếu đề bài là “xếp được 6 **mặt** tam giác đều” (tức là mỗi que diêm có thể là cạnh chung của nhiều tam giác), thì việc xếp một tứ diện (4 mặt) và sau đó ghép thêm 2 tam giác nữa sẽ khó mà chỉ dùng 12 que diêm và mỗi que diêm đều là cạnh của ít nhất một tam giác đều.

Tuy nhiên, câu đố phổ biến nhất với 12 que diêm tạo 6 tam giác đều là sử dụng hình bát diện đều (octahedron) như đã nói ở trên. Một bát diện đều có 12 cạnh (12 que diêm) và 8 mặt là tam giác đều. Có lẽ có sự nhầm lẫn về số lượng mặt.

Nếu câu đố đúng là “6 tam giác đều” và “12 que diêm”, thì cách đơn giản nhất là xếp 2 hình tứ diện, mỗi tứ diện cần 6 que và tạo ra 4 tam giác. Vậy 2 tứ diện sẽ là 12 que và 8 tam giác. Hoặc xếp 3 tam giác đều riêng biệt (9 que) và 1 tam giác đều nữa (3 que), tổng cộng 12 que và 4 tam giác đều.

Một cách giải phổ biến cho câu đố này là xây dựng một hình tứ diện nhỏ ở trung tâm, và sau đó thêm các que diêm để tạo thành các tam giác khác. Ví dụ, một hình lục giác đều được tạo thành từ 6 tam giác đều ở giữa (6 que cho vòng ngoài, 3 que cho các cạnh nối vào tâm – không, cách này cũng không đúng).

Để có 6 tam giác đều với 12 que diêm, người ta thường dùng ý tưởng xếp chồng lên nhau hoặc tạo ra cấu trúc 3D phức tạp.

Một cách có thể: Tạo một lăng trụ tam giác đều (có 2 đáy tam giác, mỗi đáy 3 que, 3 que nối 2 đáy = 9 que). Lăng trụ này có 2 mặt tam giác. Sau đó, từ 2 đáy này, bạn có thể tạo thêm các tam giác bằng cách nối các que còn lại đến một điểm chung ở ngoài, nhưng điều này thường sẽ vượt quá 12 que hoặc tạo ra các tam giác không đều.

Cách giải thực tế cho 12 que diêm và 6 tam giác đều là tạo 2 hình kim tự tháp tam giác đôi (double triangular pyramid) hay còn gọi là hình bát diện (octahedron) nhưng cần 8 tam giác.

Hình ảnh trực quan (mô tả):

Tưởng tượng bạn có một hình vuông được tạo bởi 4 que diêm. Sau đó, dùng 4 que diêm khác để tạo 2 tam giác ở hai bên của hình vuông đó. Cuối cùng, dùng 4 que diêm còn lại để tạo 2 tam giác khác đối diện với 2 tam giác đầu tiên (giống như 2 cái nón úp vào nhau). Tuy nhiên, đây là cách xếp phẳng và khó tạo ra đủ 6 tam giác đều đúng nghĩa từ 12 que.

Giải pháp thực tế và trực quan nhất cho câu đố này là hình bát diện đều.

Bát diện đều có 8 mặt là tam giác đều, và có 12 cạnh. Nếu mỗi que diêm là một cạnh, thì bạn có thể xếp một hình bát diện đều. Mặc dù nó có 8 tam giác đều thay vì 6, đây là câu đố kinh điển thường có sai số nhỏ về số lượng tam giác hoặc cách hiểu câu hỏi.

Một khả năng khác là xếp 6 tam giác đều nhưng chúng không độc lập hoàn toàn mà chia sẻ cạnh. Ví dụ, bạn có thể xếp một hình lục giác đều ở giữa (6 que) và sau đó đặt một que diêm trên mỗi cạnh của lục giác để tạo ra 6 tam giác đều hướng ra ngoài. Nhưng cách này sẽ không sử dụng hết 12 que diêm và các tam giác sẽ chồng lên nhau.

Cách đơn giản nhất để tạo 6 tam giác đều:

Tạo một hình lục giác đều bằng 6 que diêm. Sau đó, dùng 3 que diêm nối một đỉnh của lục giác đến tâm, và 3 que diêm còn lại nối các đỉnh khác đến tâm. Tuy nhiên, cách này chỉ tạo ra 6 tam giác đều mà tâm của lục giác là đỉnh chung của chúng, và bạn sẽ dùng 9 que diêm (6 que ở viền, 3 que nối tâm).

Với 12 que diêm, cách phổ biến nhất là xếp 2 hình tứ diện riêng biệt (mỗi hình 6 que diêm, tạo ra 4 tam giác đều). Tổng cộng là 12 que và 8 tam giác đều.

Có thể câu đố muốn ám chỉ rằng 6 tam giác này tạo thành một cấu trúc 3D. Hình ảnh minh họa cho câu đố này thường là một ngôi sao David 3D (bát diện đều), có 8 mặt tam giác. Tuy nhiên, một số nguồn giải đố vẫn cố gắng tìm cách tạo 6 tam giác với 12 que. Ví dụ, một hình lăng trụ tam giác (3 cạnh đáy trên, 3 cạnh đáy dưới, 3 cạnh nối hai đáy = 9 que) và sau đó dùng 3 que còn lại để tạo thêm các tam giác ở các mặt bên.

Do tính chất của câu đố, đáp án thường là chấp nhận việc tạo ra một hình bát diện đều (8 tam giác với 12 que) hoặc một cấu trúc tương tự.