[10 đề luyện tập] TSA 2025 phần Tư duy Toán học – Dạng 06: Tối ưu hóa – giải bài toán cực trị

Cùng Sĩ Tử 2k7 thử sức với 10 đề luyện tập TSA 2025 phần Tư duy Toán học – Dạng 06: Tối ưu hóa – giải bài toán cực trị để có kế hoạch ôn luyện cấp tốc cho đợt thi TSA sắp tới nhé!

1. Mức độ khó của TSA 2025 phần Tư duy Toán học – Dạng 06: Tối ưu hóa – giải bài toán cực trị

1. Mức độ cơ bản:
Các bài toán về cực trị đơn giản: Các bài toán yêu cầu tìm cực trị của một hàm số cơ bản, chẳng hạn như hàm bậc 2, hàm số đa thức có bậc thấp, hay các bài toán tối ưu hóa về diện tích, thể tích trong hình học.

Áp dụng công thức đạo hàm để tìm cực trị: Các bài toán yêu cầu sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng xác định.

Ví dụ:

Tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một hàm bậc 2 như f(x) = ax^2+bx+c

Tính diện tích cực đại của một hình chữ nhật với diện tích phụ thuộc vào chiều dài và chiều rộng.

2. Mức độ trung bình:
Các bài toán về cực trị liên quan đến các hàm số phức tạp hơn: Các bài toán yêu cầu tìm cực trị của các hàm đa thức bậc cao, hàm lượng giác, hoặc các bài toán có nhiều biến.

Sử dụng các phương pháp giải quyết cực trị trong các bài toán tối ưu hóa trong hình học hoặc vật lý: Bài toán có thể yêu cầu bạn áp dụng đạo hàm riêng hoặc tính toán cực trị trong không gian ba chiều.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm bậc 4, hàm lượng giác, hoặc hàm có biến số dạng f(x)=sinx+x^2

Tối ưu hóa diện tích hoặc thể tích của hình khối khi có các ràng buộc về chiều dài, chiều rộng, hoặc diện tích.

3. Mức độ khó:
Các bài toán yêu cầu sử dụng phương pháp đa biến: Đối với những bài toán có nhiều biến, học sinh phải giải quyết cực trị trong không gian đa chiều và sử dụng các phương pháp như đạo hàm riêng và phương pháp Lagrange để tối ưu hóa hàm có ràng buộc.

Bài toán tối ưu hóa với nhiều ràng buộc phức tạp: Các bài toán có thể yêu cầu tối ưu hóa trong các bài toán thực tế phức tạp như phân phối tài nguyên, tối ưu hóa chi phí hoặc lợi nhuận trong các mô hình kinh tế.

Ví dụ:

Tối ưu hóa một hàm số đa biến trong bài toán có các ràng buộc, chẳng hạn như tối ưu hóa chi phí sản xuất trong một công ty với các giới hạn về tài nguyên.

Tìm cực trị của một hàm số trong không gian ba chiều khi có ràng buộc, ví dụ như trong các bài toán về tối ưu hóa chi phí vận chuyển trong mô hình logistics.

2. 5 câu hỏi mẫu Dạng 06: Tối ưu hóa – giải bài toán cực trị

Câu 1: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số f(x)=3x^2−12x+7f(x) = 3x^2 – 12x + 7f(x)=3x2−12x+7 trong khoảng [0,5]

A. 4
B. -5
C. 6
D. 7

Câu 2:

Tìm giá trị cực đại của hàm số f(x)=−2×2+8x−3f(x) = -2x^2 + 8x – 3f(x)=−2x2+8x−3 trong khoảng $[-2,4]$.

A. 1
B. 3
C. 4
D. 5

Câu 3:

Tìm giá trị cực trị của hàm số f(x)=x3−3×2+2f(x) = x^3 – 3x^2 + 2f(x)=x3−3x2+2 tại các điểm trong khoảng $[-1,2]$.

A. Cực trị tại $x=2$
B. Cực trị tại $x=-1$ và $x=2$
C. Cực trị tại $x=1$
D. Không có cực trị trong khoảng này

Câu 4:

Tìm diện tích cực đại của một hình chữ nhật có chu vi 24, khi cạnh dài là $x$ và cạnh ngắn là $12-x$.

A. 36
B. 40
C. 48
D. 60

Câu 5:

Tối ưu hóa thể tích của một hình hộp chữ nhật với chiều dài $x$, chiều rộng $2x$ và chiều cao $4-x$. Tìm giá trị $x$ sao cho thể tích của hình hộp là cực đại.

A. 1
B. 2
C. 8/3
D. 4

3. Lời giải chi tiết

Câu 1:

Đề:
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số f(x)=3×2−12x+7f(x) = 3x^2 – 12x + 7f(x)=3x2−12x+7 trên đoạn $[0,5]$.

Lời giải:

• Đây là hàm bậc hai có hệ số $a=3>0$ nên có cực tiểu tại đỉnh.

• Tọa độ đỉnh:

  x=−b2a=126=2x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{6} = 2x=2a−b​=612​=2

• Thay vào:

  f(2)=3(2)2−12(2)+7=12−24+7=−5f(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 7 = 12 – 24 + 7 = -5f(2)=3(2)2−12(2)+7=12−24+7=−5

Câu 2:

Đề:
f(x)=−2×2+8x−3f(x) = -2x^2 + 8x – 3f(x)=−2x2+8x−3, tìm cực đại trên $[-2,4]$

Lời giải:

• Đây là parabol úp (hệ số $a<0$) nên có cực đại tại đỉnh:

  x=−b2a=−8−4=2x = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{-4} = 2x=2a−b​=−4−8​=2 $$f(2)=-2(4)+8(2)-3=-8+16-3=5$$

Đáp án đúng: D.5\boxed{D. 5}D.5​

Câu 3;

Đề:
f(x)=x3−3×2+2f(x) = x^3 – 3x^2 + 2f(x)=x3−3x2+2

Lời giải:

• Tính đạo hàm:

f′(x)=3×2−6x=3x(x−2)⇒f′(x)=0⇔x=0 hoặc x=2f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)⇒f′(x)=0⇔x=0 hoặc x=2

→ Cực trị tại $x=0$ và $x=2$

Câu 4:

Đề:
Chu vi = 24
→ $2x+2y=24\Rightarrow x+y=12\Rightarrow y=12-x$

→ Diện tích:

S=x(12−x)=12x−x2⇒S′(x)=12−2x=0⇒x=6⇒y=6⇒S=6×6=36S = x(12 – x) = 12x – x^2 \Rightarrow S'(x) = 12 – 2x = 0 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow S = 6 \times 6 = 36S=x(12−x)=12x−x2⇒S′(x)=12−2x=0⇒x=6⇒y=6⇒S=6×6=36

Đáp án đúng: A.36\boxed{A. 36}A.36

Câu 5

Đề:
Thể tích V=x⋅2x⋅(4−x)=2×2(4−x)V = x \cdot 2x \cdot (4 – x) = 2x^2(4 – x)V=x⋅2x⋅(4−x)=2x2(4−x)

V=8×2−2×3⇒V′(x)=16x−6×2=2x(8−3x)⇒x=0 hoặc x=83≈2.67V = 8x^2 – 2x^3 \Rightarrow V'(x) = 16x – 6x^2 = 2x(8 – 3x) \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{8}{3} \approx 2.67V=8x2−2x3⇒V′(x)=16x−6x2=2x(8−3x)⇒x=0 hoặc x=38​≈2.67

→ Giá trị lớn nhất tại x=83⇒Kho^ngna˘ˋmtrongđaˊpaˊnbanđa^ˋux = \frac{8}{3} \Rightarrow \boxed{Không nằm trong đáp án ban đầu}x=38

4. Tips hay làm TSA 2025 tư duy toán học dạng Tối ưu hóa – giải bài toán cực trị

✅ 1. Ghi nhớ công thức đỉnh Parabol

• Với hàm bậc 2:
  f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
  → Đỉnh parabol tại: x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b​
  → Thay vào để tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu.

✅ 2. Biến đổi biểu thức tối ưu về 1 biến

• Nếu bài cho ràng buộc như $x+y=10$, thì bạn nên thế y = 10 – x để đưa bài về 1 biến rồi tối ưu dễ hơn.

• Tối ưu thường dùng trong các dạng: diện tích, thể tích, chi phí, năng suất…

✅ 3. Tối ưu hình học hay gặp hình vuông / khối lập phương

• Với diện tích tối đa hình chữ nhật có chu vi không đổi → hình vuông.

• Với thể tích tối đa trong hộp, hay gặp cạnh bằng nhau.

✅ 4. So sánh giá trị tại đỉnh và biên (nếu có giới hạn)

• Nếu bài yêu cầu trong khoảng $[a,b]$, hãy:

  • Tính f(a),f(b),f(xđỉnh)f(a), f(b), f(x_{đỉnh})f(a),f(b),f(xđỉnh​)

  • So sánh 3 giá trị để tìm max/min.

✅ 5. Đừng quên đơn vị & kiểm tra điều kiện

• Luôn kiểm tra:

  • Kết quả có thỏa mãn đề không?

  • Có nằm trong miền giá trị hợp lý không?

  • Đừng quên đơn vị như m², cm³, đồng, phút,..

5. Tham khảo các dạng TSA khác:

Bạn có thể luyện tập theo từng dạng đề TSA 2025:

• Đề thi thử đánh giá tư duy – Đại học Bách khoa Hà Nội (TSA 2025)

• Tổng hợp đề thi thử tư duy Toán học TSA 2025 – đủ các dạng

• ✍️ Các dạng phổ biến khác:

  • [10 đề luyện tập] TSA 2025 phần Tư duy Toán học – Dạng 01: Tư duy logic – Tìm quy luật số

  • [10 đề luyện tập] TSA 2025 phần Tư duy Toán học – Dạng 02: Đại số ứng dụng – Tính toán biến đổi và khai thác biểu thức

  • Dạng 03: Toán thực tế (bạn đang xem)

  • Dạng 04: Xử lý số liệu biểu đồ

  • Dạng 05: Logic toán học